Алгебраическая система - NiNa.Az

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество ${\displaystyle G}$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

${\displaystyle n}$-арная операция на ${\displaystyle G}$ — это отображение прямого произведения ${\displaystyle n}$ экземпляров множества в само множество ${\displaystyle G^{n}\to G}$. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции факторгруппы, факторкольца, ). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова , которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений.

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией ${\displaystyle \cdot :G\times G\to G}$, обычно называемой умножением.
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение ${\displaystyle x\cdot a=b}$ имеет единственное решение для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
• Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом ${\displaystyle e\in G}$, таким, что ${\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}$.
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$.
• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a⁻¹, такой, что ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$.
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$.
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

• Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ${\displaystyle [a,b]}$), удовлетворяющим тождеству Якоби ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}$
•  — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ${\displaystyle [a,b]}$), удовлетворяющим тождеству Якоби ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}$
•  — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: ${\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}$
•  — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: ${\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}$ и тождеством эластичности: ${\displaystyle x(yx)=(xy)x}$
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами ${\displaystyle x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x}$
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:

  ${\displaystyle (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}$

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими .
• Булева алгебра.

Примечания

1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.