Бесконечномерное пространство - NiNa.Az

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам.

Определение

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа ${\displaystyle N>0}$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из ${\displaystyle N}$ векторов.

Базис

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ образует базис Шаудера пространства ${\displaystyle E}$, если каждый элемент ${\displaystyle x\in E}$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$. Базис Шаудера существует не всегда.

Примеры

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций.
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ со сходящейся суммой квадратов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$.
• Множество всех многочленов (над дан­ным по­лем).
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Свойства

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному.

См. также

• Конечномерное пространство

Примечания

1. Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615
2. Ефимов, 2004, с. 33.
3. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
4. Крейн, 1964, с. 74.
5. Шилов, 1961, с. 182.
6. Ефимов, 2004, с. 32.
7. Ефимов, 2004, с. 39.

Литература

• Ефимов Н.В., Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.