Винтовая линия - NiNa.Az

Винтовая ли́ния — кривая в трёхмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе и пересекающая образующие под одинаковым углом.

Правая винтовая линия (cos t, sin t, t) с t = 0 до 4π

Кристаллическая правовинтовая молекулярная структура , по работе сотрудников Lehn, из Helv. Chim. Acta., 2003, 86, 1598—1624

Естественное закручивание усиков винограда (левая спирально-винтовая)

Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot \cos t,a\cdot \sin t,b\cdot t)}$,

или в иной записи:

${\displaystyle x(t)=a\cdot \cos t,}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot \sin t,}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$,

где ${\displaystyle a,b}$ — вещественные константы, не равные нулю.

Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$ представляет собой окружность.

Коническая винтовая линия (также спирально-винтовая линия), определяется параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot t\cdot \cos t,a\cdot t\cdot \sin t,b\cdot t)}$,

или:

${\displaystyle x(t)=a\cdot t\cdot \cos t}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot t\cdot \sin t}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$.

Проекция спирально-винтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$ — спираль Архимеда.

Тело, имеющее форму винтовой линии, в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых.

«Правые» и «левые» винтовые линии

Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по «правилу буравчика» или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».

Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу, или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы используются очень редко — в специальных применениях, например для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.

Элементы и свойства

Величину ${\displaystyle 2\cdot \pi \cdot b}$ называют шагом винтовой линии, геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра.

Все винтовые линии являются линиями откоса, то есть касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна ${\displaystyle C}$ и кручение ${\displaystyle S}$ постоянны в любой точке и описываются выражениями

${\displaystyle C={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$,

${\displaystyle S={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}$.

Элемент длины

${\displaystyle dL=dt\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Угол ${\displaystyle \Phi }$ между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют углом наклона, он равен:

${\displaystyle \Phi =\arctan({\tfrac {b}{a}})}$.

Примеры тел в виде винтовой линии

Форму винтовой линии имеют, например, следующие молекулы:

• ДНК — двойная спираль (двойной винт),
• РНК,
• актиновая нить — двойная спираль,
• кальмодулин,
• молекулы, имеющие хиральность,
• аспарагиназа,
• движение заряженных частиц под острым углом к магнитному полю.

Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины, часть винтовых свёрл, соединительные винты, болты, шпильки, винты (шнеки) мясорубок, экструдеров, винт Архимеда, шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид).

Правовинтовая пружина

Вариации и обобщения

• Винтовая линия — частный случай линии откоса.

Примечания

1. Винтовая линия — статья из Математической энциклопедии. Е. В. Шикин
2. Винтовая линия — статья из Большой советской энциклопедии. Э. Г. Позняк.