Выпуклая функция - NiNa.Az

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

Выпуклая вниз функция, её график выделен синим, и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции.

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.

Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции

Определения

Формально, для числовой функции на некотором интервале (в общем случае — на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение неравенства Йенсена — если для любых двух значений аргумента ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и для любого числа ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ имеет место:

${\displaystyle f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)}$.

Если неравенство Йенсена выполняется в строгом варианте для всех ${\displaystyle t\in \left(0,1\right)}$ и ${\displaystyle x\neq y}$, то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).

Если для некоторого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ выполняется более сильное неравенство:

${\displaystyle f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|x-y\right|^{2}}$,

то функция называется сильно выпуклой.

Свойства

Функция ${\displaystyle f}$, выпуклая на интервале ${\displaystyle \mathbb {I} }$, непрерывна на всём ${\displaystyle \mathbb {I} }$, дифференцируема на всём ${\displaystyle \mathbb {I} }$ за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.

Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.

У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.

Непрерывная функция ${\displaystyle f}$ выпукла на ${\displaystyle \mathbb {I} }$ тогда и только тогда, когда для всех точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {I} }$ выполняется неравенство:

${\displaystyle f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}}$

Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4}}$ строго выпукла на ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$, но её вторая производная в точке ${\displaystyle x=0}$ равна нулю).

Если функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ выпуклы, то любая их линейная комбинация ${\displaystyle af+bg}$ с положительными коэффициентами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом). Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Примечания

1. Клюшин В. Л.. Высшая математика для экономистов (рус.) / под ред. И. В. Мартынова. — Учебное издание. — М.: Инфра-М, 2006. — С. 229. — 448 с. — ISBN 5-16-002752-1.

Литература

• Выпуклость и вогнутость : [арх. 13 сентября 2022] / Теляковский С. А. // Восьмеричный путь — Германцы. — М. : Большая российская энциклопедия, 2006. — С. 126-127. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 6). — ISBN 5-85270-335-4.
• Выпуклость и вогнутость // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)