Гамильтонова механика - NiNa.Az

Гамильто́нова меха́ника является одной из формулировок классической механики. Предложена в 1833 году Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий и пуассоновых многообразий.

Несмотря на формальную эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой механики, последняя, помимо привнесённых ею полезных технических дополнений, сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с механикой квантовой (Гамильтон изначально хотел^{[источник не указан 4418 дней]} сформулировать классическую механику как коротковолновый предел некоторой волновой теории, что практически полностью соответствует современному взгляду).

Существует точка зрения, что формализм Гамильтона вообще более фундаментален и органичен, в том числе и в особенности для квантовой механики (Дирак), хотя эта точка зрения и не стала общепризнанной, в основном, видимо, из-за того, что заметная часть таких интерпретаций теряет явную (только явную) лоренц-ковариантность, а также потому, что эта точка зрения не дала такого практического выхода, который убедил бы в её важности всех. Впрочем, следует заметить, что эвристически она, вероятно, была не последней среди побудительных причин, приведших к открытию уравнения Дирака — одного из наиболее фундаментальных уравнений квантовой теории.

Переформулировка лагранжевой механики

В лагранжевой механике механическая система характеризуется лагранжианом : ${\displaystyle L(q,\;{\dot {q}},\;t)}$ — функцией обобщённых координат ${\displaystyle q}$ и соответствующих скоростей ${\displaystyle {\dot {q}}}$, а также, возможно, времени ${\displaystyle t}$. В гамильтоновой механике вводится понятие обобщенных импульсов, сопряженных обобщенным координатам и определяемых через лагранжиан следующим образом:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости, — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.

Векторное уравнение Эйлера — Лагранжа тогда примет вид

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}$.

Отсюда, в частности, следует, что если какая-то координата оказалась , то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то для сопряжённого ей импульса ${\displaystyle {\dot {p}}=0}$, то есть он является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов.

В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.

С помощью преобразования Лежандра лагранжиана определяется функция Гамильтона — гамильтониан:

${\displaystyle H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q}},\;t)}$.

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, не зависят от ${\displaystyle t}$, можно показать, что ${\displaystyle H}$ равен полной энергии:

${\displaystyle E=T+V}$.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

${\displaystyle dH=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial t}}\right)\,dt=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}-p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt=}$

${\displaystyle =\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt}$.

С учетом того, что полный дифференциал гамильтониана также равен

${\displaystyle dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt}$,

получим уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}_{j}}$

а также связь гамильтониана и лагранжиана:

${\displaystyle \qquad {\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}}$

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.

Для произвольной функции канонических переменных ${\displaystyle f(q,\;p,\;t)}$ имеем

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},}$

где ${\displaystyle \{H,\;f\}}$ — скобка Пуассона. Данное уравнение является основным уравнением гамильтоновой механики. Можно непосредственно проверить, что оно справедливо также и для самих канонических переменных ${\displaystyle f=q}$ или ${\displaystyle f=p}$.

Из данного уравнения следует, что если некоторая динамическая переменная не является непосредственной функцией времени, то она является интегралом движения тогда и только тогда, когда её скобка Пуассона равна нулю.

Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия

Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:

${\displaystyle S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-H(p,\;q)\right)\,dt,}$

которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке. (Под ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат).

Условие стационарности действия

${\displaystyle \delta S=0}$

даёт возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведётся независимо по ${\displaystyle \delta p_{j}}$ и ${\displaystyle \delta q_{j}}$. Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.}$

Используя второе, можно выразить все ${\displaystyle p_{j}}$ через набор ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$, после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.

Математический формализм

Любая гладкая функция ${\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }$ на симплектическом многообразии ${\displaystyle M}$ может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция ${\displaystyle H}$ известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как .

Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.

Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона. Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.

Если мы имеем распределение вероятности ${\displaystyle \rho }$, то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства (${\displaystyle {{\dot {p}}_{i}},\;{{\dot {q}}_{i}}}$) имеет нулевую дивергенцию, и вероятность сохраняется. Получим

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.}$

Это выражение называют уравнением Лиувилля. Каждая гладкая функция ${\displaystyle G}$ над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если ${\displaystyle \{G,\;H\}=0}$, то ${\displaystyle G}$ сохраняется фазовым потоком.

гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще говоря, гамильтоновы системы хаотичны; понятия меры, полноты, интегрируемости и стабильности для них плохо определены. В настоящее время исследования динамических систем посвящены главным образом изучению качественных свойств систем и их изменений.

Примечания

1. А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. - 464с.
2. Это (с точностью до постоянного множителя, который можно опустить при подходящем выборе единиц измерения), пожалуй, наиболее прямо записанное выражение для фазы

   ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}}$

   в квантовой механике (с точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям или при простом квазиклассическом рассмотрении движения волнового пакета), где импульс и энергия являются с точностью до того же постоянного множителя (константы Планка) — волновым вектором и частотой

   ${\displaystyle \scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }}$

   (здесь для простоты использованы декартовы координаты). Метод же стационарной фазы ${\displaystyle \scriptstyle {\delta \varphi =0}}$ даёт классическое приближение, что полностью аналогично излагаемому гамильтонову способу, другими словами, просто его повторяет. Заметим также, что в целом это один из наиболее прямых способов установить аналогию между распространением «точечных» волновых пакетов возмущений в широком классе сред и движением материальной точки механики. Аналогия же эта, в частности, позволяет получить ещё одну полезную точку зрения на природу и свойства обобщённых импульсов.

См. также

• Симплектическое многообразие
• Симплектическое пространство
• Уравнения Гамильтона
• Уравнение Гамильтона — Якоби
• Лагранжева механика
• Аналитическая механика
• Гамильтонова теория поля

Ссылки

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Вилази Г. Гамильтонова динамика. — Перевод с англ. — М.: ИКИ и РХД, 2006. — 432 с. — ISBN 5-93972-444-2.
• тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974.
• Виноградов А. М., Красильщик И. С. Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
• Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. Структура гамильтоновой механики // Успехи математических наук. — 1977. — Т. 32. — стр. 175—236.
• Abraham R., Marsden J. E. Foundations of Mechanics. — London: Benjamin-Cummings, 1978. — ISBN 0-8053-0102-X.
• Rychlik M. Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction.  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4425 дней] — история)
• Binney J. Classical Mechanics. — Лекции в формате PDF.
• Tong D. Classical Dynamics. — Лекции Кембриджского университета.