Гармоническая прогрессия - NiNa.Az

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность) — это прогрессия, образованная обратными элементами арифметической прогрессии.

первые десять членов гармонической последовательности ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$.

Эквивалентное определение — это бесконечная последовательность вида

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,}$

где a не равно нулю и −a/d не натуральное число, или конечная последовательность вида

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},}$

где a≠0, k — натуральное число −a/d — не натуральное число или больше k.

Примеры

• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
• 12, 6, 4, 3, ${\displaystyle {\tfrac {12}{5}}}$, 2, … , ${\displaystyle {\tfrac {12}{n}}}$, …
• 30, −30, −10, −6, − ${\displaystyle {\tfrac {30}{7}}}$, … , ${\displaystyle {\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3}}}}}$
• 10, 30, −30, −10, −6, − ${\displaystyle {\tfrac {30}{7}}}$, … , ${\displaystyle {\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3}}}}}$

Сумма гармонической прогрессии

Основная статья: Гармонический ряд

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (в смысле бесконечной суммы).

Для гармонической прогрессии невозможно при различных единицах дробей (кроме случаев с a = 1 и k = 0) иметь сумму, равную целому числу. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии будет делиться на натуральное число, на которое не делится любой другой знаменатель.

Примечания

1. Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (венг.), 39: 17–24, Архивировано (PDF) 6 мая 2021, Дата обращения: 22 ноября 2019 Источник  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2019. Архивировано 6 мая 2021 года.. Цитата по Graham, Ronald L. [in английский] (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., vol. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600.