Гильбертов кирпич - NiNa.Az

Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков ${\displaystyle [0,1]}$ (с топологией произведения).

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$:

  ${\displaystyle \left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots ,}$

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ гильбертова пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$, такие, что

${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}}$.

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.

Литература

• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 137—139. — 752 с.

• Тихоновский куб — статья из Математической энциклопедии. Архангельский А. В.

См. также

• Единичный куб
• Тихоновский куб