Дуальные числа - NiNa.Az

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида ${\displaystyle a+\varepsilon b}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид ${\displaystyle a\varepsilon }$. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида ${\displaystyle (a,\;b)}$, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})}$

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$

Числа вида ${\displaystyle (a,\;0)}$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число ${\displaystyle (0,\;1)}$ обозначается ${\displaystyle \varepsilon }$, после чего определяющие тождества примут вид:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon }$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})}$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом ${\displaystyle x^{2}}$.

Матричное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим ${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$. Тогда произвольное дуальное число примет вид

${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x}$

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots }$

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

${\displaystyle \sinh \varepsilon x=\sin \varepsilon x=\varepsilon x}$

${\displaystyle \cosh \varepsilon x=\cos \varepsilon x=1}$

Арифметические операции

• Сложение

  ${\displaystyle (a+b\varepsilon )+(c+d\varepsilon )=(a+c)+(b+d)\varepsilon }$

• Вычитание

  ${\displaystyle (a+b\varepsilon )-(c+d\varepsilon )=(a-c)+(b-d)\varepsilon }$

• Умножение

  ${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon }$

• Деление

  ${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon }$

Корни

Корень n-й степени из числа вида ${\displaystyle a+\varepsilon b}$ определяется как

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1}}}}}.}$

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию ${\displaystyle f(x)}$, область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

${\displaystyle f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).}$

Почему это так

Как известно,

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k},}$

то есть

${\displaystyle (x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}(y\varepsilon )^{k},\qquad (1)}$

но так как все степени ${\displaystyle \varepsilon }$ больше единицы равны нулю, то

${\displaystyle (x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .}$

Теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.}$

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента:

${\displaystyle f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k}}{k!}}.}$

По формуле (1) получаем

${\displaystyle f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1}y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!}}+y\varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.}$

Второе слагаемое — не что иное, как разложение в ряд производной функции ${\displaystyle f}$, то есть

${\displaystyle f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).}$

Q.E.D.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) ${\displaystyle \varepsilon }$ в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если ${\displaystyle \delta }$ — бесконечно малое число, то с точностью до ${\displaystyle o(\delta )}$ кольцо гипердействительных чисел вида ${\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} \delta }$ изоморфно кольцу дуальных чисел.

Примечания

1. . Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — С. 121.

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024  (англ.)