Инвариантное подпространство - NiNa.Az

Инвариа́нтное подпростра́нство ${\displaystyle W}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ относительно линейного отображения ${\displaystyle T\colon V\to V}$ — это такое подпространство, что ${\displaystyle \forall x\in W,T(x)\in W}$, другими словами ${\displaystyle T(W)\subset W}$.

Инвариантное подпространство является одним из ключевых понятий линейной алгебры и функционального анализа, играющим важную роль в изучении линейных отображений, действующих в конечномерных и бесконечномерных линейных пространствах.

Примеры

• Тривиальными примерами являются: само пространство ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (W=V)}$ и нулевое подпространство (состоящее из единственного нулевого вектора).
• Любой собственный вектор оператора порождает его одномерное инвариантное подпространство.
• Ядро линейного отображения ${\displaystyle \ker T}$.
• Важными примерами инвариантных подпространств являются собственные и корневые подпространства линейного отображения ${\displaystyle T}$.

Примечания

1. Теорема. Любой собственный вектор оператора порождает его одномерное инвариантное подпространство, и обратно: любой ненулевой вектор одномерного инвариантного подпространства оператора является собственным вектором.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.