Конечномерное пространство - NiNa.Az

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент ${\displaystyle x}$ конечномерного пространства ${\displaystyle X}$ представим единственным образом в виде

${\displaystyle x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P} }$ где ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — поле (часто ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), над которым рассматривается пространство ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X}$ — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть ${\displaystyle X}$ — конечномерное пространство и ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}}$ — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве ${\displaystyle X}$ с фиксированным базисом, размерности ${\displaystyle n}$, можно ввести скалярное произведение по правилу:
  ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}}$, где ${\displaystyle \{a_{k}\},\{b_{k}\}}$ — компоненты векторов ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • ${\displaystyle X}$ — рефлексивное пространство.
  • Пространство ${\displaystyle X^{*}}$, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству ${\displaystyle X}$, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью ${\displaystyle X}$.
  • Для любого подпространства ${\displaystyle M\subset X}$ конечномерного пространства ${\displaystyle X}$ существует подпространство ${\displaystyle M^{\perp }\subset X}$ такое, что ${\displaystyle \forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y}$ и ${\displaystyle X}$ разлагается в прямую сумму ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M^{\perp }}$, ${\displaystyle X=M\oplus M^{\perp }}$.
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор ${\displaystyle I:X\rightarrow X}$ является вполне непрерывным.
• Пространство ${\displaystyle X}$ является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над ${\displaystyle X}$ обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство ${\displaystyle X}$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в ${\displaystyle X}$ предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство ${\displaystyle X}$ является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в ${\displaystyle X}$ множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, определённый в конечномерном пространстве ${\displaystyle X}$ является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

Более общий случай — пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов (${\displaystyle 1\leq p<\infty }$):

${\displaystyle \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}}}}$ или ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.}$

Если ввести норму ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ и скалярное произведение ${\displaystyle (x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}},}$ то пространство будет евклидовым.

• ${\displaystyle P^{n}}$ — пространство всех многочленов степени не выше ${\displaystyle n}$. Размерность этого пространства ${\displaystyle n+1}$. Многочлены ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n}}$ образуют в нём базис.
• Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное линейное пространство и пусть ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

• Бесконечномерное пространство

Примечания

1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
2. ${\displaystyle M^{\perp }}$ часто называют ортогональным дополнением к ${\displaystyle M}$

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.