Край многообразия - NiNa.Az

Край многообра́зия ${\displaystyle \partial M^{n}}$ — множество всех точек ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которые не имеют окрестности, гомеоморфной ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Многообразие с краем. На рисунке справа вверху показано некоторое подковообразное двумерное многообразие ${\displaystyle M^{2}}$ с одномерным краем ${\displaystyle \partial M^{2}}$, который состоит из двух окружностей ${\displaystyle S^{1}}$, операцией взятия края ${\displaystyle \partial \colon M^{2}\to \partial M^{2}}$ и тремя гомеоморфизмами: 1) ${\displaystyle \varphi _{1}}$ окрестности внутренней точки многообразия ${\displaystyle M^{2}}$ на внутренность круга ${\displaystyle U_{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$; 2) ${\displaystyle \varphi _{2}}$ окрестности краевой точки многообразия ${\displaystyle M^{2}}$ на внутренность полукруга с диаметром ${\displaystyle U_{2}\subset \mathbb {R} _{+}^{2}\equiv \mathbb {H} ^{2}}$; 3) ${\displaystyle \varphi _{3}}$ окрестности точки многообразия ${\displaystyle \partial M^{2}}$ на открытый интервал ${\displaystyle U_{3}\subset \mathbb {R} ^{1}}$

Более формально, край многообразия ${\displaystyle \partial M^{n}}$ — подмножество замыкания ${\displaystyle {\overline {M^{n}}}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ (возможно, открытого) такое, что некоторая окрестность каждой точки этого подмножества гомеоморфна некоторой области ${\displaystyle W^{n}}$ некоторого замкнутого полупространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём эта область ${\displaystyle W^{n}}$ открыта в полупространстве ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$, но не во всём пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Краевая точка области ${\displaystyle W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$ — точка пересечения ${\displaystyle {\overline {W^{n}}}}$ с границей полупространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$.

Краевая точка многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ — точка ${\displaystyle a\in {\overline {M^{n}}}}$, которая соответствует краевой точке области ${\displaystyle W^{n}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$. Другими словами, точка ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которая не имеет окрестности, гомеоморфной ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Внутренняя точка многообразия — точка ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$, которая имеет окрестность, гомеоморфную ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Внутренность, или внутренняя часть, многообра́зия ${\displaystyle \operatorname {int} M^{n}}$ — множество всех внутренних точек ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$.

Многообразие с краем — многообразие, имеющее хотя бы одну краевую точку.

Простейший пример ${\displaystyle n}$-мерного многообразия с краем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$ — полупространство ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$.

Замкнутое многообразие — компактное многообразие без края.

Предложение 1. Замкнутое множество всех краевых точек ${\displaystyle \partial M^{n}}$ вещественного ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ есть ${\displaystyle (n-1)}$-мерное многообразие без края, а разность множеств ${\displaystyle M^{n}\setminus \partial M^{n}=\operatorname {int} M^{n}}$, которое есть всюду плотное открытое множество, — ${\displaystyle n}$-мерное многообразие без края.

• Примеры многообразий с краем
• Диск
• кольцо, или лента
• Лист Мёбиуса
• Половина Тора

• Примеры замкнутых многообразий
• Сфера
• Тор
• Бутылка Клейна
• Римская поверхность

Примечания

1. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы, 1977, Глава 3. Гладкие многообразия. § 1. Основные понятия. 1. Топологические многообразия, с. 131.
2. Войцеховский М. И. Край, 1982.
3. Борисович, Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию, 2015, Глава 4. Многообразия и расслоения. § 3. Гладкие многообразия. 11. Многообразия с краем, с. 230.
4. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы, 1977, Глава 3. Гладкие многообразия. § 1. Основные понятия. 1. Топологические многообразия, с. 131—132.

Источники

• Борисович, Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: ЛЕНАНД, 2015. 441 с., ил. (Классический учебник МГУ.)
• Войцеховский М. И. Край // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 87.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: «Наука», 1977. 487 с., ил.