Метрика Сасаки - NiNa.Az

Метрика Сасаки — естественная риманова метрика на касательном расслоении риманова многообразия. Предложена с ^[англ.] в 1958 году.

Построение

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ есть риманово многообразие, обозначим через ${\displaystyle \tau \colon \mathrm {T} M\to M}$  касательное расслоение над ${\displaystyle M}$. Метрика Сасаки ${\displaystyle {\hat {g}}}$ на ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ однозначно определяется следующими свойствами:

• Отображение ${\displaystyle \tau \colon \mathrm {T} M\to M}$ есть риманова субмерсия.
• Сужение ${\displaystyle {\hat {g}}}$ на каждое касательное пространство ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}\subset \mathrm {T} M}$ равно ${\displaystyle g}$.
• Предположим ${\displaystyle \gamma (t)}$ есть кривая в ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle v(t)\in \mathrm {T} _{\gamma (t)}}$ параллельное векторное поле вдоль ${\displaystyle \gamma }$. Заметим, что ${\displaystyle v(t)}$ образует кривую в ${\displaystyle \mathrm {T} M}$. Для ${\displaystyle {\hat {g}}}$ выполняется ${\displaystyle v'(t)\perp \mathrm {T} _{\gamma (t)}}$ при любом ${\displaystyle t}$.

Литература

• S. Sasaki. On the differential geometry of tangent bundle of Riemannian manifolds (англ.) // Tôhoku Math. J.. — 1958. — Vol. 10. — P. 338–354.