Моногенная функция - NiNa.Az

Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ называется моногенной (или дифференцируемой в смысле комплексного анализа) в точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$, если предел

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$

существует и одинаков для приближения ${\displaystyle z}$ к точке ${\displaystyle z_{0}}$ по произвольному пути. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$, называется голоморфной в этой точке. Функция, моногенная во всех точках некоторой открытой области ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, называется голоморфной в этой области.

Функция называется полигенной, если подобный предел зависит от пути и имеет бесконечно много значений. Можно показать, что комплекснозначная функция может быть либо моногенной, либо полигенной, а случай существования конечного количества различных значений этого предела исключён.

Пример. Функция ${\displaystyle f(z)=z}$ — моногенная в нуле:

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {z-0}{z-0}}=1,}$

а функция ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ — полигенная:

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },}$ или ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatorname {sgn} ^{-2}z,}$

где φ — аргумент числа z − 0, а sgn — комплексная функция знака, которая принимает значение, модуль которого всегда единичен.

См. также

• Голоморфная функция
• Условия Коши — Римана

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.