Обратный оператор - NiNa.Az

Обратный оператор к оператору ${\displaystyle A}$ — оператор, который каждому ${\displaystyle y}$ из множества значений ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ оператора ${\displaystyle A}$ ставит в соответствие единственный элемент ${\displaystyle x}$ из области определения ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$, являющийся решением уравнения ${\displaystyle Ax=y}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет обратный, то есть уравнение ${\displaystyle Ax=y}$ имеет единственное решение при любом ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$, то ${\displaystyle A}$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается ${\displaystyle A^{-1}}$.

Если A отображает X на Y, то A⁻¹ отображает Y на X

Определение и условия существования

Другое определение: оператор ${\displaystyle B}$ называется обратным к оператору ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle BA=I,\,AB=I}$, где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор. Если выполняется только соотношение ${\displaystyle BA=I}$ или только ${\displaystyle AB=I,}$ то оператор ${\displaystyle B}$ называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор ${\displaystyle A}$ является обратимым. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом.

Оператор ${\displaystyle A}$ обратим, если он отображает ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ на ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ взаимно однозначно, то есть при различных ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ принимает различные значения ${\displaystyle y}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы ${\displaystyle Ax=0}$ выполнялось только при ${\displaystyle x=0}$.

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве ${\displaystyle \ell _{2}}$ линейный оператор

${\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )}$

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: ${\displaystyle x_{1}=0}$.

Свойства

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A.}$
• ${\displaystyle (A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.}$
• Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$, обратный к линейному оператору, также линеен.
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$, ${\displaystyle A^{*}}$ — сопряжённый оператор.

Теоремы об обратном операторе

Теорема Банаха

Основная статья: Теорема Банаха об обратном операторе

Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство ${\displaystyle E}$ на банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$. Тогда обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ ограничен.

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение ${\displaystyle A}$ банахова пространства ${\displaystyle E}$ на (всё) банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ открыто.

Достаточные условия существования обратного оператора

• Пусть линейный оператор ${\displaystyle A}$, отображающий линейное нормированное пространство ${\displaystyle E}$ на линейное нормированное пространство ${\displaystyle E_{1}}$, удовлетворяет для любого ${\displaystyle x\in E}$ условию

${\displaystyle \|Ax\|\geq m\|x\|,}$

где ${\displaystyle m>0}$ — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$.

• Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства ${\displaystyle E}$ в банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle \Delta A}$ — линейный ограниченный оператор из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$ такой, что ${\displaystyle \|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|}$. Тогда оператор ${\displaystyle B=A+\Delta A}$ имеет ограниченный обратный, причём

${\displaystyle \|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}}$.

• Пусть ${\displaystyle E}$ — банахово пространство, ${\displaystyle I}$ — тождественный оператор в ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A}$ — такой линейный ограниченный оператор, отображающий ${\displaystyle E}$ в себя, что ${\displaystyle \|A\|<1}$. Тогда оператор ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ существует, ограничен и представляется в виде ряда

${\displaystyle (I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k}}$.

Примеры

Преобразование Фурье

Основная статья: Преобразование Фурье

${\displaystyle g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt}$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda }$.

Операторы интегрирования и дифференцирования

Для оператора интегрирования

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,}$

действующего в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$, обратным будет оператор дифференцирования:

${\displaystyle A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),}$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что ${\displaystyle y(0)=0}$.

Оператор Штурма-Лиувилля

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля ${\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,}$ определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что ${\displaystyle x(0)=x(1)=0}$, обратным оператором является интегральный оператор

${\displaystyle A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle G(t,\tau )}$ — функция Грина. ${\displaystyle A^{-1}}$ — линейный ограниченный оператор в ${\displaystyle C[0,1]}$.

Интегральный оператор

Пусть

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$. При достаточно малых значениях параметра ${\displaystyle \lambda }$ оператор ${\displaystyle (I-\lambda A)}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

${\displaystyle (I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds}$,

где ${\displaystyle R(t,s,\lambda )}$ — резольвента ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

${\displaystyle x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

при любом свободном члене ${\displaystyle y(t)}$.

Обратный оператор в конечномерном пространстве

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица.

См. также

• Линейное отображение
• Обратная функция
• Изоморфизм
• Банахово пространство
• Линейный непрерывный оператор

Примечания

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
3. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
5. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
8. Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
15. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
17. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.