Передаточная функция

Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Линейные стационарные системы

Пусть $u(t)$ — входной сигнал линейной стационарной системы, а $y(t)$ — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция $W(s)$ такой системы записывается в виде:

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}},

где

s=\sigma +j\omega

— оператор передаточной функции в преобразовании Лапласа,

U(s)

и

Y(s)

— преобразования Лапласа для сигналов

u(t)

и

y(t)

соответственно:

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt.

Дискретная передаточная функция

Для и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть $u(k)$ — входной дискретный сигнал такой системы, а $y(k)$ — её дискретный выходной сигнал, $k=0,1,2,\dots$ . Тогда передаточная функция $W(z)$ такой системы записывается в виде:

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

,

где $U(z)$ и $Y(z)$ — z-преобразования для сигналов $u(k)$ и $y(k)$ соответственно:

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}

,

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}

.

Связь с другими динамическими характеристиками

АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной $s$ на $j\omega$ :

W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega

.

Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т. е. систем с неизменяемыми параметрами компонентов) и передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной $s$ :

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}

.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции $m$ не может превышать порядка полинома её знаменателя $n$ , то есть $m\leq n$

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене $s=j\omega$ в $W(s)$ получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её аргумент.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы $U(t)$ до вектора выхода $Y(t)$ — это матрица $W=\{w_{i,j}\}$ , элемент $i$ -й строки $j$ -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от $i$ -й координаты вектора входа системы до $j$ -й координаты вектора выхода.