Постоянные Ламе - NiNa.Az

Не следует путать с коэффициентами Ламе в дифференциальной геометрии.

Постоя́нные Ламе́, упругие постоянные Ламе, коэффициенты Ламе, константы Ламе, модули упругости Ламе (названные в честь французского математика Габриэля Ламе) — ^[нем.], характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, принадлежащие к множеству модулей упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

${\displaystyle \sigma =\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I+2\mu \varepsilon .}$

Здесь λ называется первым коэффициентом Ламе, а μ — вторым коэффициентом Ламе или модулем сдвига.

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются ${\displaystyle \left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}}$ и ${\displaystyle \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}}$.

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

${\displaystyle F={\frac {\lambda }{2}}\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}+\mu \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}}$.

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

${\displaystyle K=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu }$

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$

${\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$

Литература

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.VII. Теория упругости. — Наука, 1987.

Примечания

1. Кац А.М. Теория упругости. — СПб.: Лань, 2002. — С. 48. — 208 с. — ISBN 5-8114-0453-0.
2. Новацкий В. Теория упругости / Пер с польск. Б.Е.Победри. — М.: Мир, 1975. — С. 102. — 872 с.
3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука, 1988. — С. 239. — 712 с. — ISBN 5-02-013812-6.
4. Амензаде Ю.А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976. — С. 68. — 272 с.
5. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / Отв. ред. Г.И.Баренблатт. — М.: Наука, 1982. — С. 48. — 336 с.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — СПб.: Лань, 2004. — Т. 1. — С. 166. — 528 с. — ISBN 5-8114-0541-3.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости / Теоретическая физика. В 10-ти т. — М.: Наука, 1987. — Т. 7. — С. 21. — 258 с.
8. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — С. 111. — 940 с.
9. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. — С. 194. — 288 с.
10. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. под ред. Г.С.Шапиро. — М.: Наука, 1975. — С. 20. — 576 с.
11. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред / Пер. с нем. Е.М.Лифшица. — М.: ИЛ, 1954. — С. 83. — 488 с.