Проблема Гольдбаха
Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2025 год утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.
Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, — в 2013 году доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Вообще, проблема представления натурального числа суммой ограниченного количества простых чисел называется ослабленной проблемой Гольдбаха.
Эквивалентная формулировка бинарной гипотезы Гольдбаха: любое целое число больше 1 может быть представлено как среднее арифметическое двух (возможно, одинаковых) простых чисел.
История
В 1742 году математик Христиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Первое утверждение называется «тернарной проблемой Гольдбаха», второе — «бинарной проблемой Гольдбаха» (или «проблемой Эйлера»).
Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал Варинг в 1770 году: каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.
Тернарная проблема Гольдбаха
В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.
В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент доказал, что нижняя граница не превышает 3315 ≈ 3,25×106 846 168 ≈ 106 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.
В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили нижнюю грань до ee11,503 ≈ 3,33339×1043 000 ≈ 1043 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.
В 1997 году , , и показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 1020, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.
В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом.
Бинарная проблема Гольдбаха
Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения. Она является одной из четырёх теоретико-числовых гипотез (проблем Ландау), выделенных в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков.
Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в 1975 году (англ. Hugh Montgomery) и Бобом Воном. Они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает 
.
В 1930 году Шнирельман доказал, что любое четное число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.
Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем четырёх простых чисел.
В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.
На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих 4×1018.
Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.
Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида.
В культуре
В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». В рекламных целях издательство «Faber and Faber» пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод.
Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма «Западня Ферма», вышедшего в 2007 году, и пилотной серии сериала «Льюис» (2006 год), а также фильма «Теория простых чисел», вышедшего в 2023 году.
Примечания
- Lettre XLIII. Goldbach à Euler // Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (нем.) / Ed.: P. H. Fuss. — St.-Pétersbourg: L'Académie Impériale des Sciences, 1843. — Bd. 1. — S. 125—129.
- J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.
- Jean-Marc Deshouillers Архивная копия от 25 октября 2012 на Wayback Machine, Gove Effinger Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine, Herman te Riele Архивная копия от 29 марта 2012 на Wayback Machine, Dmitrii Zinoviev Архивная копия от 29 августа 2014 на Wayback Machine, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99—104. 1997.
- Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (англ.). Дата обращения: 10 июня 2013. Архивировано из оригинала 22 марта 2017 года.
- Major arcs for Goldbach’s theorem Архивная копия от 29 июля 2013 на Wayback Machine, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
- Goldbach Variations Архивная копия от 16 декабря 2013 на Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
- Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.
- Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архивная копия от 13 июня 2010 на Wayback Machine.
- Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение
![image]()
разрешимо относительно ![image]()
при всех значениях параметра ![image]()
- Дядя Петрос и проблема Гольдбаха (Архивная копия от 14 сентября 2017 на Wayback Machine) на сайте Ozon.
Литература
- Бредихин Б. М. Аддитивные проблемы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — Стб. 94—95. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.
- Карацуба А. А. Гольдбаха проблема // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — Стб. 1035. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.
- Прахар К. П. Распределение простых чисел. — М.: «Мир», 1967. — 512 с.
- Стюарт И. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.
Ссылки
- Коняев, Андрей. Бог любит троицу. Решена одна из старейших и сложнейших математических задач. Лента.ру (17 июня 2013). — О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха. Дата обращения: 21 января 2016. Архивировано 19 июня 2013 года.
- Петров С. Абсолютное программирование. Рекурсия — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Проблема Гольдбаха, Что такое Проблема Гольдбаха? Что означает Проблема Гольдбаха?
Problema Goldbaha gipoteza Goldbaha problema Ejlera binarnaya problema Goldbaha utverzhdenie o tom chto lyuboe chyotnoe chislo nachinaya s 4 mozhno predstavit v vide summy dvuh prostyh chisel Yavlyaetsya otkrytoj matematicheskoj problemoj po sostoyaniyu na 2025 god utverzhdenie ne dokazano V sovokupnosti s gipotezoj Rimana vklyuchena v spisok problem Gilberta pod nomerom 8 Bolee slabyj variant gipotezy ternarnaya problema Goldbaha soglasno kotoroj lyuboe nechyotnoe chislo nachinaya s 7 mozhno predstavit v vide summy tryoh prostyh chisel v 2013 godu dokazana peruanskim matematikom Haraldom Gelfgottom Iz spravedlivosti binarnoj problemy Goldbaha ochevidnym obrazom sleduet ternarnaya esli kazhdoe chyotnoe chislo nachinaya s 4 summa dvuh prostyh chisel to dobavlyaya 3 k kazhdomu chyotnomu chislu mozhno poluchit vse nechyotnye chisla nachinaya s 7 Voobshe problema predstavleniya naturalnogo chisla summoj ogranichennogo kolichestva prostyh chisel nazyvaetsya oslablennoj problemoj Goldbaha Ekvivalentnaya formulirovka binarnoj gipotezy Goldbaha lyuboe celoe chislo bolshe 1 mozhet byt predstavleno kak srednee arifmeticheskoe dvuh vozmozhno odinakovyh prostyh chisel IstoriyaPismo Goldbaha Ejleru datirovannoe 7 iyunya 1742 latyn nemeckij V 1742 godu matematik Hristian Goldbah poslal pismo Leonardu Ejleru v kotorom on vyskazal sleduyushee predpolozhenie kazhdoe nechyotnoe chislo bolshee 5 mozhno predstavit v vide summy tryoh prostyh chisel Ejler zainteresovalsya problemoj i vydvinul bolee silnuyu gipotezu kazhdoe chyotnoe chislo bolshee dvuh mozhno predstavit v vide summy dvuh prostyh chisel Pervoe utverzhdenie nazyvaetsya ternarnoj problemoj Goldbaha vtoroe binarnoj problemoj Goldbaha ili problemoj Ejlera Gipotezu shodnuyu s ternarnoj problemoj Goldbaha no v bolee slaboj forme vyskazal Varing v 1770 godu kazhdoe nechyotnoe prostoe chislo ili summa tryoh prostyh Ternarnaya problema GoldbahaV 1923 godu matematiki Hardi i Litlvud pokazali chto v sluchae spravedlivosti nekotorogo obobsheniya gipotezy Rimana problema Goldbaha verna dlya vseh dostatochno bolshih nechyotnyh chisel V 1937 godu Vinogradov predstavil dokazatelstvo ne zavisyashee ot spravedlivosti gipotezy Rimana to est dokazal chto lyuboe dostatochno bolshoe nechyotnoe chislo mozhet byt predstavleno v vide summy tryoh prostyh Sam Vinogradov ne dal yavnoj ocenki dlya etogo dostatochno bolshogo chisla no ego student dokazal chto nizhnyaya granica ne prevyshaet 3315 3 25 106 846 168 106 846 168 To est eto chislo soderzhit pochti 7 millionov cifr chto delaet nevozmozhnoj pryamuyu proverku vseh menshih chisel V dalnejshem rezultat Vinogradova mnogokratno uluchshali poka v 1989 godu Van i Chen ne opustili nizhnyuyu gran do ee11 503 3 33339 1043 000 1043 000 5 chto tem ne menee po prezhnemu bylo vne predelov dosyagaemosti dlya yavnoj proverki vseh menshih chisel V 1997 godu i pokazali chto obobshyonnaya gipoteza Rimana vlechyot spravedlivost ternarnoj problemy Goldbaha Oni dokazali eyo spravedlivost dlya chisel prevyshayushih 1020 v to vremya kak spravedlivost utverzhdeniya dlya menshih chisel legko ustanavlivaetsya na kompyutere V 2013 godu ternarnaya gipoteza Goldbaha byla okonchatelno dokazana Haraldom Gelfgottom Binarnaya problema GoldbahaBinarnaya problema Goldbaha vsyo eshyo daleka ot resheniya Ona yavlyaetsya odnoj iz chetyryoh teoretiko chislovyh gipotez problem Landau vydelennyh v 1912 godu Edmundom Landau kak glavnye i nepristupnye pri tekushem sostoyanii matematiki v doklade na Mezhdunarodnom kongresse matematikov Vinogradov v 1937 godu i Teodor Estermann v 1938 godu pokazali chto pochti vse chyotnye chisla predstavimy v vide summy dvuh prostyh chisel Etot rezultat byl nemnogo usilen v 1975 godu angl Hugh Montgomery i Bobom Vonom Oni pokazali chto sushestvuyut polozhitelnye konstanty c i C takie chto kolichestvo chyotnyh chisel ne bolshih N nepredstavimyh v vide summy dvuh prostyh chisel ne prevyshaet CN1 c displaystyle CN 1 c V 1930 godu Shnirelman dokazal chto lyuboe chetnoe chislo predstavimo v vide summy ne bolee chem 800 000 prostyh chisel Etot rezultat mnogokratno uluchshalsya tak v 1995 godu Olive Ramare dokazal chto lyuboe chyotnoe chislo summa ne bolee chem 6 prostyh chisel Iz spravedlivosti ternarnoj gipotezy Goldbaha dokazannoj v 2013 godu sleduet chto lyuboe chyotnoe chislo summa ne bolee chem chetyryoh prostyh chisel V 1966 godu Chen Czinzhun dokazal chto lyuboe dostatochno bolshoe chyotnoe chislo predstavimo ili v vide summy dvuh prostyh chisel ili zhe v vide summy prostogo chisla i poluprostogo proizvedeniya dvuh prostyh chisel Naprimer 100 23 7 11 Na aprel 2012 goda binarnaya gipoteza Goldbaha byla proverena dlya vseh chyotnyh chisel ne prevyshayushih 4 1018 Esli binarnaya gipoteza Goldbaha neverna to sushestvuet algoritm kotoryj rano ili pozdno obnaruzhit eyo narushenie Binarnaya gipoteza Goldbaha mozhet byt pereformulirovana kak utverzhdenie o nerazreshimosti diofantova uravneniya 4 j stepeni nekotorogo specialnogo vida V kultureV 1992 godu vyshel v svet i poluchil chrezvychajnuyu populyarnost roman idej Apostolosa Doksiadisa Dyadya Petros i problema Goldbaha V reklamnyh celyah izdatelstvo Faber and Faber poobeshalo million dollarov tomu iz chitatelej kto v techenie dvuh let posle tirazha dast reshenie zadachi Roman byl perevedyon na desyatki yazykov v 2002 godu poyavilsya ego russkij perevod Problema Goldbaha yavlyaetsya vazhnoj sostavlyayushej syuzhetov filma Zapadnya Ferma vyshedshego v 2007 godu i pilotnoj serii seriala Lyuis 2006 god a takzhe filma Teoriya prostyh chisel vyshedshego v 2023 godu PrimechaniyaLettre XLIII Goldbach a Euler Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle nem Ed P H Fuss St Petersbourg L Academie Imperiale des Sciences 1843 Bd 1 S 125 129 J R Chen and T Z Wang On the odd Goldbach problem Acta Mathematica Sinica 32 1989 702 718 Addendum 34 1991 143 144 Jean Marc Deshouillers Arhivnaya kopiya ot 25 oktyabrya 2012 na Wayback Machine Gove Effinger Arhivnaya kopiya ot 1 oktyabrya 2012 na Wayback Machine Herman te Riele Arhivnaya kopiya ot 29 marta 2012 na Wayback Machine Dmitrii Zinoviev Arhivnaya kopiya ot 29 avgusta 2014 na Wayback Machine A complete Vinogradov 3 primes theorem under the Riemann hypothesis Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society Vol 3 pp 99 104 1997 Terence Tao Google Busy day in analytic number theory Harald Helfgott has angl Data obrasheniya 10 iyunya 2013 Arhivirovano iz originala 22 marta 2017 goda Major arcs for Goldbach s theorem Arhivnaya kopiya ot 29 iyulya 2013 na Wayback Machine H A Helfgott arxiv 1305 2897 Goldbach Variations Arhivnaya kopiya ot 16 dekabrya 2013 na Wayback Machine SciAm blogs Evelyn Lamb May 15 2013 Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arhivnaya kopiya ot 23 iyunya 2013 na Wayback Machine Science 24 May 2013 Vol 340 no 6135 p 913 doi 10 1126 science 340 6135 913 Kurant R Robbins G Chto takoe matematika rus 3 e izd ispr i dop M MCNMO 2001 Weisstein Eric W Goldbach Conjecture angl na sajte Wolfram MathWorld Yuri Matiyasevich Hilbert s Tenth Problem What was done and what is to be done Arhivnaya kopiya ot 13 iyunya 2010 na Wayback Machine Matiyasevich Yu V Desyataya problema Gilberta rus Nauka 1993 my mozhem pereformulirovat gipotezu Goldbaha kak utverzhdenie o tom chto diofantovo uravnenie 2a 4 p1 p2 2 P2 p1 x1 xm P2 p2 y1 ym 0 displaystyle 2a 4 p 1 p 2 2 mathbf P 2 p 1 x 1 dots x m mathbf P 2 p 2 y 1 dots y m 0 razreshimo otnositelno p1 p2 x1 xm y1 ym displaystyle p 1 p 2 x 1 dots x m y 1 dots y m pri vseh znacheniyah parametra a displaystyle a Dyadya Petros i problema Goldbaha Arhivnaya kopiya ot 14 sentyabrya 2017 na Wayback Machine na sajte Ozon LiteraturaBredihin B M Additivnye problemy Matematicheskaya enciklopediya v 5 t Gl red I M Vinogradov M Sovetskaya enciklopediya 1977 T 1 A G Stb 94 95 1152 stb il 150 000 ekz Karacuba A A Goldbaha problema Matematicheskaya enciklopediya v 5 t Gl red I M Vinogradov M Sovetskaya enciklopediya 1977 T 1 A G Stb 1035 1152 stb il 150 000 ekz Prahar K P Raspredelenie prostyh chisel rus M Mir 1967 512 s Styuart I Territoriya prostyh chisel Problema Goldbaha Velichajshie matematicheskie zadachi rus M Alpina non fikshn 2016 460 s ISBN 978 5 91671 507 1 SsylkiKonyaev Andrej Bog lyubit troicu Reshena odna iz starejshih i slozhnejshih matematicheskih zadach rus Lenta ru 17 iyunya 2013 O zavershenii dokazatelstva ternarnoj problemy Goldbaha Data obrasheniya 21 yanvarya 2016 Arhivirovano 19 iyunya 2013 goda Petrov S Absolyutnoe programmirovanie Rekursiya primer tipichnoj psevdomatematicheskoj popytki dokazatelstva problemy Goldbaha metodom proseivaniya
