Символическая логика
В статье есть список источников, но не хватает сносок. |
Символическая логика — область логики, которая отодвигает на второй план математику, и изучает чисто формальные свойства символов, представленных в виде строк. С точки зрения философской логики, символы рассматриваются как обозначения слов. А с точки зрения информатики, символы, рассматриваемые по правилам символической логики, являются элементами вычислительного процесса обработки данных.
Состоит из двух разделов, логики высказываний и логики первого порядка. К другим формам относятся темпоральная, модальная и нечёткая логика.
Символическая логика исследует закономерности, в которых логическая форма высказываний рассматривается с использованием символов в качестве инструментов. Вместо явных высказываний изучаются логические формулы, которые являются символическим представлением высказываний, в частности, составных. Правила рассуждений и логики изучаются с помощью формальных систем, которые образуют хорошую основу для символьных преобразований, выполняемых в этой области.
История
Дисциплина символической логики была придумана задолго до своего появления Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем, первые попытки которого не принесли значительных результатов.
Если бы возникли разногласия, то в споре двух философов было бы не больше необходимости, чем в споре двух бухгалтеров. Достаточно взять в руки карандаши, сесть за один стол и сказать друг другу: разберёмся в этом вместе?
Вопрос о создании символической логики как универсального научного языка рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» (De arte combinatoria). Он думал о записи высказываний на специальном языке, чтобы затем по логическим законам вычислять истинность других. В середине XIX века появились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики, сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган, Шрёдер).
Хотя в то время эта идея не получила большого распространения, она стала источником символической логики, разработанной Джорджем Булем, а затем развитой Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом.
В конце 1880-х годов Дедекинд и Пеано применили эти инструменты в попытках аксиоматизации арифметики, при этом Пеано создал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современной математической логике. Он ввёл в математическую логику символы: ∈ — знак принадлежности множеству, ⊂ — знак включения, ⋃ — знак объединения, ∩ — знак пересечения множеств; разработал систему аксиом для арифметики натуральных чисел. Но главное, Пеано с помощью изобретённого им символического исчисления попытался исследовать основные математические понятия, что стало первым шагом практического применения математической логики к изучению основ математики. В своём пятитомном труде «Formulaire de Mathematiques» (1895—1905) Пеано показал, как с помощью символического исчисления можно аксиоматически построить математические дисциплины.
Первый учебник по символической логике для неспециалистов был написан Льюисом Кэрроллом, автором «Алисы в стране чудес», в 1896 году.
Леопольд Лёвенгейм и Туральф Сколем получили теорему Лёвенгейма — Скулема, согласно выводам которой, логика первого порядка не позволяет контролировать кардинальность бесконечных структур. Сколем заметил, что эта теорема применима к формализациям теории множеств первого порядка и поэтому из теоремы следует, что любая такая формализация имеет счётного множества. Данный контринтуитивный факт стал известен как парадокс Скулема.
В своей докторской диссертации, Курт Гёдель доказал теорему о полноте, устанавливающую соответствие между синтаксисом и семантикой в логике первого порядка. С помощью теоремы о полноте Гёдель доказал теорему о компактности, продемонстрировав тем самым ограниченность логических следствий первого порядка. Результаты помогли утвердить логику первого порядка в качестве доминирующей логики, используемой математиками.
В 1931 году, Гёдель опубликовал работу «», в которой доказал неполноту (в другом значении этого слова) всех достаточно сильных, эффективных теорий первого порядка. Этот результат, известный как теорема Гёделя о неполноте, устанавливает серьёзные ограничения на аксиоматические основания математики и сильно подрывает программу Гильберта. Теорема неполноты свидетельствует о невозможности доказательства непротиворечивости арифметики в рамках любой формальной теории арифметики. Однако Давид Гильберт долгое время не признавал важности теоремы о неполноте.
Теорема неполноты Гёделя также указывает на то, что доказательство непротиворечивости любой достаточно сильной, эффективной системы аксиом не может быть получено ни в самой системе, если она непротиворечива, ни в какой-либо более слабой системе. Таким образом, возникает возможность существования доказательств непротиворечивости, которые не могут быть формализованы в рамках рассматриваемой системы. Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя вместе с принципом трансфинитной индукции. Результат Генцена позволил ввести идеи устранимости сечений и , которые стали ключевыми инструментами теории доказательств. Гёдель дал другое доказательство непротиворечивости, которое сводит непротиворечивость классической арифметики к непротиворечивости интуиционистской арифметики в высших типах.
Логика высказываний
Логика высказываний изучает свойства пропозиций в терминах их констант и ссылок на переменные, таких как A, B, C, … и пяти операторов: И (AND), ИЛИ (OR), IMPLIES, EQUALS и НЕ (NOT). А также с помощью символов 
и 
.
Соответствующими логическими операциями являются конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание. Все эти операции, кроме НЕ, являются бинарными. Смысл этих операций описывается таблицами истинностных значений.
Логика первого порядка
Логика первого порядка является расширением логики высказываний, в которой вводятся переменные, пропозиции или предикаты. Переменные обычно обозначаются строчными буквами x, y, z и т. д., а предикаты — прописными, например P(x) или Q(y, z). Кроме того, используются кванторы, которые описывают всеобщность (квантор всеобщности 
) и существование (квантор существования 
).
Пример из программирования Пролог
В языке программирования Пролог применяется логика первого порядка, поэтому он также поддерживает символическую логику и, соответственно, возможность программной обработки.
Программы на языке Пролог описывают отношения с помощью пунктов. Проще говоря, Пролог ограничен формулами Хорна, который является тьюринг-полным подмножеством предикатов логики первого порядка. И имеет два типа пунктов: факты и правила.
Правило имеет вид:
Заголовок:- тело.
Оно гласит: «Заголовок истинен, если тело истинно». Тело правила состоит из предикатных высказываний, называемых целью правила. Встроенная в Пролог функция запятая (,/2) определяет конъюнкцию целей, а точка с запятой (;/2) — дизъюнкцию. Конъюнкция и дизъюнкция могут встречаться в теле правила, но не в заголовке [имени].
Предложения, в которых отсутствует часть тела, называются фактами. Например,
Том — кот:
кот(Том).
Факт работает как уменьшенная реляционная база данных. Так, в Пролог можно запросить имена всех котов по очереди:
?- кот(X). X = Том
Выполнение Пролог
Выполнение Пролог начинается с единственной цели, называемой запросом. Механизм рассуждений Пролог пытается найти отрицательное условие в соответствии с принципом разрешения.
Если отрицание не найдено, то из этого следует, что запрос с его допустимыми значениями переменных будет подтверждён. Таким образом, реализуется соответствующая логическая цепочка в программе. В этом случае все сгенерированные значения переменных возвращаются пользователю, и запрос считается успешным. Функционально стратегию выполнения Пролог можно рассматривать как обобщение вызовов функций в типичных языках программирования (Java, C++, Pascal), но особенностью Пролог является то, что для одного и того же оператора, даже с одинаковыми аргументами, может существовать несколько альтернативных заголовков. В этом случае Пролог создает точку выбора, которая объединяет различные альтернативные варианты. Затем Prolog начинает выполнять возможные варианты с самого начала. При выполнении конкретного варианта — в зависимости от так называемого термина отсечения — пытаются быть выполнены и следующие варианты точки выбора (предложения) или принимается только один вариант. Если один запрос в предложении не выполняется, то значения переменных, присвоенные ему, отменяются, и выполнение возвращается к предыдущей точке выбора и продолжается со следующего варианта, если таковой остался. Такая операция отмены и повторного выполнения называется обратной загрузкой.
Например, все люди смертны, и в частности, утверждается, что Сократ — человек:
смертный(Х):- человек(Х). человек(Сократ).
Следующий запрос возвращает информацию о том, что Сократ смертен, потому что он является человеком:
?- смертный (Сократ). Да.
См. также
- Математическая логика
- (Symbolinen analyysi)
- (Symbolic data analysis)
Примечания
- Thompson, Jan & Martinsson, Thomas. Matematiikan käsikirja. — Helsinki: Tammi, 1994. — С. 372. — ISBN 951-31-0471-0.
- Carroll, 1896.
- Löwenheim, 1915.
- Skolem, 1920.
- Gödel, 1929.
- Gentzen, 1936.
- Gödel, 1958.
Литература
- Бродский И. Н. Элементарное введение в символическую логику. — Издательство Ленинградского университета, 1972. — 63 с.
- А. С. Карпенко. Логика символическая // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Мысль, 2010. — 2816 с.
- Alfred Tarski: Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences (2nd ed.): Logical Constants (1946)
- A.H. Basson and D.J. O’Connor: Introduction to Symbolic Logic (3rd ed.): Chapter Introductory: . Symbolic Logic and Classical Logic (1959)
- E.J. Lemmon: Beginning Logic: Chapter: The Propositional Calculus: The Nature of Logic (1965)
- Irving M. Copi: Symbolic Logic (4th ed.): Introduction: Logic and Language: Symbolic Logic (1973)
- D.J. O’Connor and Betty Powell: Elementary Logic: The Logic of Statements (1980)
- Michael R.A. Huth and Mark D. Ryan: Logic in Computer Science: Modelling and reasoning about systems: Declarative sentences (2000)
В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. |
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Символическая логика, Что такое Символическая логика? Что означает Символическая логика?
V state est spisok istochnikov no ne hvataet snosok Bez snosok slozhno opredelit iz kakogo istochnika vzyato kazhdoe otdelnoe utverzhdenie Vy mozhete uluchshit statyu prostaviv snoski na istochniki podtverzhdayushie informaciyu Svedeniya bez snosok mogut byt udaleny 3 avgusta 2023 Simvolicheskaya logika oblast logiki kotoraya otodvigaet na vtoroj plan matematiku i izuchaet chisto formalnye svojstva simvolov predstavlennyh v vide strok S tochki zreniya filosofskoj logiki simvoly rassmatrivayutsya kak oboznacheniya slov A s tochki zreniya informatiki simvoly rassmatrivaemye po pravilam simvolicheskoj logiki yavlyayutsya elementami vychislitelnogo processa obrabotki dannyh Sostoit iz dvuh razdelov logiki vyskazyvanij i logiki pervogo poryadka K drugim formam otnosyatsya temporalnaya modalnaya i nechyotkaya logika Simvolicheskaya logika issleduet zakonomernosti v kotoryh logicheskaya forma vyskazyvanij rassmatrivaetsya s ispolzovaniem simvolov v kachestve instrumentov Vmesto yavnyh vyskazyvanij izuchayutsya logicheskie formuly kotorye yavlyayutsya simvolicheskim predstavleniem vyskazyvanij v chastnosti sostavnyh Pravila rassuzhdenij i logiki izuchayutsya s pomoshyu formalnyh sistem kotorye obrazuyut horoshuyu osnovu dlya simvolnyh preobrazovanij vypolnyaemyh v etoj oblasti IstoriyaDisciplina simvolicheskoj logiki byla pridumana zadolgo do svoego poyavleniya Gotfridom Vilgelmom fon Lejbnicem pervye popytki kotorogo ne prinesli znachitelnyh rezultatov Esli by voznikli raznoglasiya to v spore dvuh filosofov bylo by ne bolshe neobhodimosti chem v spore dvuh buhgalterov Dostatochno vzyat v ruki karandashi sest za odin stol i skazat drug drugu razberyomsya v etom vmeste Vopros o sozdanii simvolicheskoj logiki kak universalnogo nauchnogo yazyka rassmatrival Lejbnic v 1666 godu v rabote Iskusstvo kombinatoriki De arte combinatoria On dumal o zapisi vyskazyvanij na specialnom yazyke chtoby zatem po logicheskim zakonam vychislyat istinnost drugih V seredine XIX veka poyavilis pervye raboty po algebraizacii aristotelevoj logiki sformirovavshie pervoosnovu ischisleniya vyskazyvanij Bul de Morgan Shryoder Hotya v to vremya eta ideya ne poluchila bolshogo rasprostraneniya ona stala istochnikom simvolicheskoj logiki razrabotannoj Dzhordzhem Bulem a zatem razvitoj Alfredom Nortom Uajthedom i Bertranom Rasselom V konce 1880 h godov Dedekind i Peano primenili eti instrumenty v popytkah aksiomatizacii arifmetiki pri etom Peano sozdal udobnuyu sistemu oboznachenij zakrepivshuyusya i v sovremennoj matematicheskoj logike On vvyol v matematicheskuyu logiku simvoly znak prinadlezhnosti mnozhestvu znak vklyucheniya znak obedineniya znak peresecheniya mnozhestv razrabotal sistemu aksiom dlya arifmetiki naturalnyh chisel No glavnoe Peano s pomoshyu izobretyonnogo im simvolicheskogo ischisleniya popytalsya issledovat osnovnye matematicheskie ponyatiya chto stalo pervym shagom prakticheskogo primeneniya matematicheskoj logiki k izucheniyu osnov matematiki V svoyom pyatitomnom trude Formulaire de Mathematiques 1895 1905 Peano pokazal kak s pomoshyu simvolicheskogo ischisleniya mozhno aksiomaticheski postroit matematicheskie discipliny Pervyj uchebnik po simvolicheskoj logike dlya nespecialistov byl napisan Lyuisom Kerrollom avtorom Alisy v strane chudes v 1896 godu Leopold Lyovengejm i Turalf Skolem poluchili teoremu Lyovengejma Skulema soglasno vyvodam kotoroj logika pervogo poryadka ne pozvolyaet kontrolirovat kardinalnost beskonechnyh struktur Skolem zametil chto eta teorema primenima k formalizaciyam teorii mnozhestv pervogo poryadka i poetomu iz teoremy sleduet chto lyubaya takaya formalizaciya imeet schyotnogo mnozhestva Dannyj kontrintuitivnyj fakt stal izvesten kak paradoks Skulema V svoej doktorskoj dissertacii Kurt Gyodel dokazal teoremu o polnote ustanavlivayushuyu sootvetstvie mezhdu sintaksisom i semantikoj v logike pervogo poryadka S pomoshyu teoremy o polnote Gyodel dokazal teoremu o kompaktnosti prodemonstrirovav tem samym ogranichennost logicheskih sledstvij pervogo poryadka Rezultaty pomogli utverdit logiku pervogo poryadka v kachestve dominiruyushej logiki ispolzuemoj matematikami V 1931 godu Gyodel opublikoval rabotu v kotoroj dokazal nepolnotu v drugom znachenii etogo slova vseh dostatochno silnyh effektivnyh teorij pervogo poryadka Etot rezultat izvestnyj kak teorema Gyodelya o nepolnote ustanavlivaet seryoznye ogranicheniya na aksiomaticheskie osnovaniya matematiki i silno podryvaet programmu Gilberta Teorema nepolnoty svidetelstvuet o nevozmozhnosti dokazatelstva neprotivorechivosti arifmetiki v ramkah lyuboj formalnoj teorii arifmetiki Odnako David Gilbert dolgoe vremya ne priznaval vazhnosti teoremy o nepolnote Teorema nepolnoty Gyodelya takzhe ukazyvaet na to chto dokazatelstvo neprotivorechivosti lyuboj dostatochno silnoj effektivnoj sistemy aksiom ne mozhet byt polucheno ni v samoj sisteme esli ona neprotivorechiva ni v kakoj libo bolee slaboj sisteme Takim obrazom voznikaet vozmozhnost sushestvovaniya dokazatelstv neprotivorechivosti kotorye ne mogut byt formalizovany v ramkah rassmatrivaemoj sistemy Gencen dokazal neprotivorechivost arifmetiki ispolzuya vmeste s principom transfinitnoj indukcii Rezultat Gencena pozvolil vvesti idei ustranimosti sechenij i kotorye stali klyuchevymi instrumentami teorii dokazatelstv Gyodel dal drugoe dokazatelstvo neprotivorechivosti kotoroe svodit neprotivorechivost klassicheskoj arifmetiki k neprotivorechivosti intuicionistskoj arifmetiki v vysshih tipah Logika vyskazyvanijOsnovnaya statya Logika vyskazyvanij Logika vyskazyvanij izuchaet svojstva propozicij v terminah ih konstant i ssylok na peremennye takih kak A B C i pyati operatorov I AND ILI OR IMPLIES EQUALS i NE NOT A takzhe s pomoshyu simvolov displaystyle land lor rightarrow leftrightarrow i displaystyle neg Sootvetstvuyushimi logicheskimi operaciyami yavlyayutsya konyunkciya dizyunkciya implikaciya ekvivalentnost i otricanie Vse eti operacii krome NE yavlyayutsya binarnymi Smysl etih operacij opisyvaetsya tablicami istinnostnyh znachenij Logika pervogo poryadkaOsnovnaya statya Logika pervogo poryadka Logika pervogo poryadka yavlyaetsya rasshireniem logiki vyskazyvanij v kotoroj vvodyatsya peremennye propozicii ili predikaty Peremennye obychno oboznachayutsya strochnymi bukvami x y z i t d a predikaty propisnymi naprimer P x ili Q y z Krome togo ispolzuyutsya kvantory kotorye opisyvayut vseobshnost kvantor vseobshnosti displaystyle forall i sushestvovanie kvantor sushestvovaniya displaystyle exists Primer iz programmirovaniya PrologV yazyke programmirovaniya Prolog primenyaetsya logika pervogo poryadka poetomu on takzhe podderzhivaet simvolicheskuyu logiku i sootvetstvenno vozmozhnost programmnoj obrabotki Programmy na yazyke Prolog opisyvayut otnosheniya s pomoshyu punktov Proshe govorya Prolog ogranichen formulami Horna kotoryj yavlyaetsya tyuring polnym podmnozhestvom predikatov logiki pervogo poryadka I imeet dva tipa punktov fakty i pravila Pravilo imeet vid Zagolovok telo Ono glasit Zagolovok istinen esli telo istinno Telo pravila sostoit iz predikatnyh vyskazyvanij nazyvaemyh celyu pravila Vstroennaya v Prolog funkciya zapyataya 2 opredelyaet konyunkciyu celej a tochka s zapyatoj 2 dizyunkciyu Konyunkciya i dizyunkciya mogut vstrechatsya v tele pravila no ne v zagolovke imeni Predlozheniya v kotoryh otsutstvuet chast tela nazyvayutsya faktami Naprimer Tom kot kot Tom Fakt rabotaet kak umenshennaya relyacionnaya baza dannyh Tak v Prolog mozhno zaprosit imena vseh kotov po ocheredi kot X X Tom Vypolnenie Prolog Vypolnenie Prolog nachinaetsya s edinstvennoj celi nazyvaemoj zaprosom Mehanizm rassuzhdenij Prolog pytaetsya najti otricatelnoe uslovie v sootvetstvii s principom razresheniya Esli otricanie ne najdeno to iz etogo sleduet chto zapros s ego dopustimymi znacheniyami peremennyh budet podtverzhdyon Takim obrazom realizuetsya sootvetstvuyushaya logicheskaya cepochka v programme V etom sluchae vse sgenerirovannye znacheniya peremennyh vozvrashayutsya polzovatelyu i zapros schitaetsya uspeshnym Funkcionalno strategiyu vypolneniya Prolog mozhno rassmatrivat kak obobshenie vyzovov funkcij v tipichnyh yazykah programmirovaniya Java C Pascal no osobennostyu Prolog yavlyaetsya to chto dlya odnogo i togo zhe operatora dazhe s odinakovymi argumentami mozhet sushestvovat neskolko alternativnyh zagolovkov V etom sluchae Prolog sozdaet tochku vybora kotoraya obedinyaet razlichnye alternativnye varianty Zatem Prolog nachinaet vypolnyat vozmozhnye varianty s samogo nachala Pri vypolnenii konkretnogo varianta v zavisimosti ot tak nazyvaemogo termina otsecheniya pytayutsya byt vypolneny i sleduyushie varianty tochki vybora predlozheniya ili prinimaetsya tolko odin variant Esli odin zapros v predlozhenii ne vypolnyaetsya to znacheniya peremennyh prisvoennye emu otmenyayutsya i vypolnenie vozvrashaetsya k predydushej tochke vybora i prodolzhaetsya so sleduyushego varianta esli takovoj ostalsya Takaya operaciya otmeny i povtornogo vypolneniya nazyvaetsya obratnoj zagruzkoj Naprimer vse lyudi smertny i v chastnosti utverzhdaetsya chto Sokrat chelovek smertnyj H chelovek H chelovek Sokrat Sleduyushij zapros vozvrashaet informaciyu o tom chto Sokrat smerten potomu chto on yavlyaetsya chelovekom smertnyj Sokrat Da Sm takzheMatematicheskaya logika Symbolinen analyysi Symbolic data analysis PrimechaniyaThompson Jan amp Martinsson Thomas Matematiikan kasikirja Helsinki Tammi 1994 S 372 ISBN 951 31 0471 0 Carroll 1896 Lowenheim 1915 Skolem 1920 Godel 1929 Gentzen 1936 Godel 1958 LiteraturaBrodskij I N Elementarnoe vvedenie v simvolicheskuyu logiku Izdatelstvo Leningradskogo universiteta 1972 63 s A S Karpenko Logika simvolicheskaya Novaya filosofskaya enciklopediya v 4 t pred nauch red soveta V S Styopin 2 e izd ispr i dop M Mysl 2010 2816 s Alfred Tarski Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences 2nd ed Logical Constants 1946 A H Basson and D J O Connor Introduction to Symbolic Logic 3rd ed Chapter Introductory Symbolic Logic and Classical Logic 1959 E J Lemmon Beginning Logic Chapter The Propositional Calculus The Nature of Logic 1965 Irving M Copi Symbolic Logic 4th ed Introduction Logic and Language Symbolic Logic 1973 D J O Connor and Betty Powell Elementary Logic The Logic of Statements 1980 Michael R A Huth and Mark D Ryan Logic in Computer Science Modelling and reasoning about systems Declarative sentences 2000 V snoskah k state najdeny nerabotosposobnye viki ssylki Ispravte korotkie primechaniya ustanovlennye cherez shablon sfn ili ego analogi v sootvetstvii s instrukciej k shablonu ili dobavte nedostayushie publikacii v razdel istochnikov Spisok snosok Carroll 1896 Gentzen 1936 Godel 1929 Godel 1958 Lowenheim 1915 Skolem 1920 21 noyabrya 2023
