Тангенциальное ускорение - NiNa.Az

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Разложение ускорения ${\displaystyle \mathbf {a} (t)}$ на тангенциальное ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }}$ и нормальное ${\displaystyle \mathbf {a} _{n}}$ (${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ — единичный касательный вектор)

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор ${\displaystyle \tau }$ вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }}$ или ${\displaystyle \mathbf {a} _{t}}$, ${\displaystyle \mathbf {w} _{\tau }}$, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\tau }}$. Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина ${\displaystyle a_{\tau }}$ равна проекции полного ускорения ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

${\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}}$,

где ${\displaystyle v\ =dl/dt}$ — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } }$.

Тангенциальное ускорение ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }}$ параллельно вектору скорости ${\displaystyle \mathbf {v} }$ при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулы

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде ${\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau } }$ через единичный вектор касательной ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} }$.

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение ${\displaystyle \mathbf {a_{\tau }} }$, а второе — нормальное ускорение ${\displaystyle \mathbf {a_{n}} }$ (${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примеры

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью ${\displaystyle v_{0}}$, направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}$, где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит ${\displaystyle v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$, а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$. В начальный момент оно равно нулю, а при больших ${\displaystyle t}$ стремится к ${\displaystyle g}$. Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{v}}=a_{\tau }\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {j}}}$.

В этих выражениях ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону ${\displaystyle {\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}}$.

В таком случае скорость тела найдётся как ${\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \sin(\omega t){\vec {j}}}$. Соответственно, её модуль равен ${\displaystyle v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega }$ и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

${\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0}$.

Рассмотренная зависимость ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ описывает равномерное движение по окружности радиусом ${\displaystyle r_{0}}$.

Равнопеременность

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» (${\displaystyle a_{\tau }=\,}$const) и «равноускоренное» (${\displaystyle {\vec {a}}=\,}$const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.