Теорема Дарбу - NiNa.Az

Эта статья — о теореме симплектической геометрии. Об анализа см. Теорема Дарбу (анализ).

Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии ${\displaystyle M^{2n}}$, у любой точки в ${\displaystyle M^{2n}}$ существует открытая окрестность и локальные координаты ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}}$ в ней, в которых симплектическая форма ${\displaystyle \omega }$ принимает канонический вид ${\displaystyle \sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j}}$.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \omega }$ — симплектическая структура на ${\displaystyle M^{2n}}$. Тогда для любой точки ${\displaystyle x\in M^{2n}}$ всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}}$, в которых форма ${\displaystyle \omega }$ записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

${\displaystyle \omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}}$,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица ${\displaystyle \left(\omega _{ij}\right)}$ принимает блочный вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix}}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {0} }$ и ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — соответственно нулевая и единичная ${\displaystyle n\times n}$-матрицы. Совокупность ${\displaystyle 2\,n}$ координат ${\displaystyle (q,\,p)}$ называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из ${\displaystyle n}$ координат ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$ — канонически сопряжёнными друг другу.

Доказательство

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ — две симплектические формы на многообразии ${\displaystyle X}$, принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм ${\displaystyle \omega _{t}}$, ${\displaystyle t\in [0;1]}$ таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать ${\displaystyle {\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}}$, где ${\displaystyle \eta _{t}}$ — некоторая 1-форма. Пусть ${\displaystyle v_{t}}$ — векторное поле такое, что ${\displaystyle \iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}}$ (такое существует в силу невырожденности всех форм ${\displaystyle \omega _{t}}$).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле ${\displaystyle V}$, определённое на многообразии с краем ${\displaystyle X\times [0;1]}$ как ${\displaystyle V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t}}-(v_{t})_{x}}$, и единую 2-форму ${\displaystyle \Omega }$, ограничивающуюся на всякое подмногообразие ${\displaystyle X_{t}=X\times \{t\}}$ как ${\displaystyle \omega _{t}}$ (мы неявно отождествляем ${\displaystyle X_{t}}$ с ${\displaystyle X}$ путём забывания временной координаты, и без того постоянной на ${\displaystyle X_{t}}$) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$. Заметим, что форма ${\displaystyle \Omega }$ вообще говоря не замкнута как форма на ${\displaystyle X\times [0;1]}$: выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство ${\displaystyle \iota _{\frac {\partial }{\partial t}}d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}}$ (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий ${\displaystyle X_{t}}$, 3-форма ${\displaystyle d\Omega }$ определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана: ${\displaystyle \left(\mathrm {Lie} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right)_{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}-d\eta _{t}=0}$. Следовательно, поток векторного поля ${\displaystyle V}$ сохраняет форму ${\displaystyle \Omega }$. В то же время, его поток переводит подмногообразия ${\displaystyle X_{t}}$ друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши ${\displaystyle X_{0}\to X_{1}}$, сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы ${\displaystyle \Omega }$ в ограничение формы ${\displaystyle \Omega }$, то есть определяет диффеоморфизм ${\displaystyle X}$, переводящий ${\displaystyle \omega _{0}}$ в ${\displaystyle \omega _{1}}$.

В частности, когда многообразие ${\displaystyle X}$ двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книге.

Вариации и обобщения

Вариант теоремы Дарбу для принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если ${\displaystyle (X,\omega )}$ — симплектическое многообразие, и ${\displaystyle Y\subset X}$ — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что ${\displaystyle \omega |_{Y}\equiv 0}$), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к ${\displaystyle Y}$: касательный вектор ${\displaystyle v}$ отправляется в функционал ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$, зануляющийся на ${\displaystyle TY}$ и потому определённый на нормальном пространстве ${\displaystyle TX/TY}$; в силу невырожденности формы ${\displaystyle \omega }$ так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения ${\displaystyle U\to X}$, где ${\displaystyle U}$ — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения ${\displaystyle T^{*}Y}$, притом такого, что на ${\displaystyle Y}$ оно постоянно, а симплектическую форму на ${\displaystyle U\subset T^{*}Y}$ переводит в симплектическую форму на ${\displaystyle X}$. В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в ${\displaystyle X}$, близкие к ${\displaystyle Y}$.

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит .

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры ${\displaystyle I\colon TX\to TX}$ (то есть такого, что ${\displaystyle I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}}$), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ для оператора ${\displaystyle I}$, при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для ${\displaystyle I}$ с собственным числом ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Это утверждение составляет , доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию ${\displaystyle d\omega =0}$ для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность ${\displaystyle X}$ с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и ${\displaystyle E}$ — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение ${\displaystyle U\to X}$, где ${\displaystyle U\subset T^{*}E}$ — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на ${\displaystyle T^{*}E}$ в голоморфно симплектическую форму на ${\displaystyle X}$, то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к ${\displaystyle E\subset U}$ кривые в близкие к ${\displaystyle E\subset X}$ кривые, притом биголоморфные ${\displaystyle E}$. Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A₁, она же фактор ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$, она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на ; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если ${\displaystyle L}$ — нормальное расслоение эллиптической кривой ${\displaystyle E}$, лежащей на комплексной поверхности ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle X}$ вдоль ${\displaystyle E}$ локально биголоморфна окрестности нулевого сечения ${\displaystyle L}$ в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle \mathrm {Pic} (E)}$ функция ${\displaystyle -\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})}$ имеет асимптотику ${\displaystyle O(\ln n)}$ (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза , утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$, которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:

Пусть ${\displaystyle X}$ — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ таким, что элемент ${\displaystyle z\in \mathrm {U} (1)}$ умножает голоморфно симплектическую форму на число ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Тогда существует открытая окрестность ${\displaystyle U\subset X}$ множества неподвижных точек этого действия ${\displaystyle Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X}$ и каноническое отображение ${\displaystyle U\to T^{*}Y}$ такое, что гиперкэлерова метрика на ${\displaystyle U}$ индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на ${\displaystyle T^{*}Y}$.

Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.

Примечания

1. Симплектическая геометрия. Методы и приложения., 1988, с. 84—867.
2. ed.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Quaternionic structures in mathematics and physics (англ.). — World Scientific, 2001. — P. 199. — ISBN 981-02-4630-7.

Литература

• Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: МГУ, 1988. — 413 с. — ISBN 5-211-00083-8.