Теорема Жордана - NiNa.Az

Не следует путать с леммой Жордана.

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)

Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто.

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году. Однако ^[англ.] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных.

Формулировка

Любая замкнутая кривая Жордана ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей.

Замечания

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой ${\displaystyle \gamma }$, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой ${\displaystyle \gamma }$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен ${\displaystyle 0}$, совпадает с внешней часть.

Согласно теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой ${\displaystyle \gamma }$ гомеоморфна кругу.

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил ^[англ.].
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем.

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При ${\displaystyle n=3}$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего ${\displaystyle n}$-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.

• Более того, любое компактное связное ${\displaystyle (n-1)}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
• Дикий узел

Примечания

1. Болтянский, 1982, Теорема Жордана.
2. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
3. Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
4. И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
5. А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176. Архивировано 24 декабря 2013 года.
6. P. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.

Литература

• Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.