Теорема Цермело
Теорема Цермело (принцип вполне упорядочивания) — теорема теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным. Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело. Теорема Цермело в ZF эквивалентна аксиоме выбора.
История
Принцип вполне упорядочивания был впервые предложен Георгом Кантором в 1883 году. Он считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли». Действительно, любое подмножество натуральных чисел можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел. Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества 
действительных чисел. По этой причине его принцип не обрёл много сторонников. К 1897 году Кантор получил доказательство принципа вполне упорядочивания, однако отказался дать разрешение на его публикацию. Его доказательство столкнулось с парадоксом Бурали-Форти, который он решил при помощи введения понятия противоречивых классов (в современной математике их называют собственные классы). В 1903 году [англ.] независимо получает похожее доказательство, списывается с Кантором по поводу него и в январе 1904 года публикует его. В своём доказательстве Журден улучшил определение Кантора противоречивого множества, но всё равно не обрёл достаточное количество сторонников. Оба доказательства и Кантора, и Журдена неявно опирались на аксиому выбора. В августе 1904 года [англ.] сообщил, что доказал, что вполне упорядочения для множества действительных чисел не может существовать, однако Эрнст Цермело на следующий день обнаружил ошибку. В начале сентября 1904 года Журден обнаружил неточность в своём доказательстве и отказался от него. В конце сентября 1904 Цермело опубликовал свою известнейшую работу, в которой дал своё доказательство принципа вполне упорядоченности. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. При этом в доказательстве Цермело в отличие от Кантора и Журдена не было никаких пояснений о том, как он избегает парадокса Бурали-Форти. Это доказательство вызвало большую дискуссию в математическом сообществе по поводу аксиомы выбора и шквал критики из-за парадокса Бурали-Форти. В ответ на эту критику Цермело в 1908 году создаёт [англ.], в которой отказывается от принципа свёртывания, и передоказывает в ней принцип вполне упорядочивания. Из-за отказа от принципа свёртывания, парадокс Бурали-Форти в его аксиоматике не появляется и проблема решается без упоминяния собственных классов.
Доказательство
Этот раздел нужно дополнить. |
Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.
См. также
- Вполне упорядоченное множество
- Аксиома выбора
- Лемма Цорна
Литература
- Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
- Moore G. H. Zermelo's axiom of choice. Its Origins, Development and Influence. — New York: Springer-Verlag, 1982. — 410 с.
Примечания
- Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, стр. 545–591.
- moore, 1982, с. 62.
- moore, 1982, с. 87.
- moore, 1982, с. 63.
- Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Архивная копия от 7 марта 2016 на Wayback Machine Mathematische Annalen, 1904.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Теорема Цермело, Что такое Теорема Цермело? Что означает Теорема Цермело?
Teorema Cermelo princip vpolne uporyadochivaniya teorema teorii mnozhestv Cermelo Frenkelya s aksiomoj vybora utverzhdayushaya chto na vsyakom mnozhestve mozhno vvesti takoe otnoshenie poryadka chto mnozhestvo budet vpolne uporyadochennym Odna iz vazhnejshih teorem v teorii mnozhestv Nazvana v chest nemeckogo matematika Ernsta Cermelo Teorema Cermelo v ZF ekvivalentna aksiome vybora IstoriyaPrincip vpolne uporyadochivaniya byl vpervye predlozhen Georgom Kantorom v 1883 godu On schital chto utverzhdenie etoj teoremy yavlyaetsya fundamentalnym principom mysli Dejstvitelno lyuboe podmnozhestvo naturalnyh chisel mozhno trivialno vpolne uporyadochit naprimer perenesya poryadok s mnozhestva naturalnyh chisel Odnako bolshinstvu matematikov trudno predstavit sebe polnyj poryadok uzhe naprimer mnozhestva R displaystyle mathbb R dejstvitelnyh chisel Po etoj prichine ego princip ne obryol mnogo storonnikov K 1897 godu Kantor poluchil dokazatelstvo principa vpolne uporyadochivaniya odnako otkazalsya dat razreshenie na ego publikaciyu Ego dokazatelstvo stolknulos s paradoksom Burali Forti kotoryj on reshil pri pomoshi vvedeniya ponyatiya protivorechivyh klassov v sovremennoj matematike ih nazyvayut sobstvennye klassy V 1903 godu angl nezavisimo poluchaet pohozhee dokazatelstvo spisyvaetsya s Kantorom po povodu nego i v yanvare 1904 goda publikuet ego V svoyom dokazatelstve Zhurden uluchshil opredelenie Kantora protivorechivogo mnozhestva no vsyo ravno ne obryol dostatochnoe kolichestvo storonnikov Oba dokazatelstva i Kantora i Zhurdena neyavno opiralis na aksiomu vybora V avguste 1904 goda angl soobshil chto dokazal chto vpolne uporyadocheniya dlya mnozhestva dejstvitelnyh chisel ne mozhet sushestvovat odnako Ernst Cermelo na sleduyushij den obnaruzhil oshibku V nachale sentyabrya 1904 goda Zhurden obnaruzhil netochnost v svoyom dokazatelstve i otkazalsya ot nego V konce sentyabrya 1904 Cermelo opublikoval svoyu izvestnejshuyu rabotu v kotoroj dal svoyo dokazatelstvo principa vpolne uporyadochennosti Ego dokazatelstvo opiralos na vpervye sformulirovannuyu v etoj zhe rabote aksiomu vybora Pri etom v dokazatelstve Cermelo v otlichie ot Kantora i Zhurdena ne bylo nikakih poyasnenij o tom kak on izbegaet paradoksa Burali Forti Eto dokazatelstvo vyzvalo bolshuyu diskussiyu v matematicheskom soobshestve po povodu aksiomy vybora i shkval kritiki iz za paradoksa Burali Forti V otvet na etu kritiku Cermelo v 1908 godu sozdayot angl v kotoroj otkazyvaetsya ot principa svyortyvaniya i peredokazyvaet v nej princip vpolne uporyadochivaniya Iz za otkaza ot principa svyortyvaniya paradoks Burali Forti v ego aksiomatike ne poyavlyaetsya i problema reshaetsya bez upominyaniya sobstvennyh klassov DokazatelstvoEtot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 16 iyulya 2017 Dokazatelstvo sm v state Utverzhdeniya ekvivalentnye aksiome vybora Sm takzheVpolne uporyadochennoe mnozhestvo Aksioma vybora Lemma CornaLiteraturaVereshagin N Shen A Nachala teorii mnozhestv 4 e izd M MCNMO 2012 112 s ISBN 978 5 4439 0012 4 Moore G H Zermelo s axiom of choice Its Origins Development and Influence New York Springer Verlag 1982 410 s PrimechaniyaGeorg Cantor 1883 Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten Mathematische Annalen 21 str 545 591 moore 1982 s 62 moore 1982 s 87 moore 1982 s 63 Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann Arhivnaya kopiya ot 7 marta 2016 na Wayback Machine Mathematische Annalen 1904
