Тетраэдрические числа - NiNa.Az

Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. ${\displaystyle n}$-е по порядку тетраэдра́льное число ${\displaystyle \Delta _{n}}$ определяется как сумма ${\displaystyle n}$ первых треугольных чисел :

Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n}}$

Начало последовательности тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).

Формула

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го тетраэдрального числа:

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle \Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3}}.}$

Свойства

Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

${\displaystyle \Delta _{1}=1^{2}=1}$,

${\displaystyle \Delta _{2}=2^{2}=4}$,

${\displaystyle \Delta _{48}=140^{2}=19600}$.

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

${\displaystyle \Delta _{1}=T_{1}=1}$,

${\displaystyle \Delta _{3}=T_{4}=10}$,

${\displaystyle \Delta _{6}=T_{15}=120}$,

${\displaystyle \Delta _{20}=T_{55}=1540}$,

${\displaystyle \Delta _{34}=T_{119}=7140}$,

Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.

Можно заметить, что:

${\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4}}$

Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов.

Многомерное обобщение

Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в ${\displaystyle d}$-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными:

${\displaystyle S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}={\frac {\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.}$.

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle S_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа.
• ${\displaystyle S_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа.
• ${\displaystyle S_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа.

Примечания

1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
2. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.
3. Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа
• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, .
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà