Эрмитова форма - NiNa.Az

Не следует путать с эрмитовой нормальной формой.

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра.

Определение

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма ${\displaystyle f(x,y)}$ от двух векторов векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности :

${\displaystyle f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.}$

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V,}$
• ${\displaystyle f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,}$
• ${\displaystyle f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,}$
• ${\displaystyle f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.}$

Свойства

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины ${\displaystyle f(x,x)}$. При этом (вещественнозначная) функция ${\displaystyle \phi (x)=f(x,x)}$ на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема. Полуторалинейная форма ${\displaystyle f(x,y)}$ является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция ${\displaystyle \phi (x)}$ принимает только вещественные значения.

В случае выполнения дополнительного условия

${\displaystyle f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0}$

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция ${\displaystyle \phi (x)}$ называются положительно определёнными.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• А.И. Кострикин Введение в алгебру часть 2 - линейная алгебра, - Физматлит, 2000

Примечания

1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.