Волны Лява - NiNa.Az

Во́лны Ля́ва — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной, так и поверхностной. Названа в честь английского математика Огастеса Эдварда Хафа Лява (англ. Augustus Edward Hough Love), исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году.

Волна Лява на сейсмограмме

Описание

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию; именно, в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z, направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

${\displaystyle U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],}$

где k_t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение обычно не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой.

Изотропная среда

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ_i, уравнение движения для смещений U можно записать в виде

${\displaystyle \rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},}$

(1)

где для поперечной волны U=(0,U_y,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала, заполняющего пространство; z>h.

Полное решение этого уравнения задаётся в виде

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(2.2)

где ${\displaystyle s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}}$, ${\displaystyle s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}}$. Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которая имеет нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю:

${\displaystyle \tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},}$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(4.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.}$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме, то уравнение (3) имеет действительные решения, лежащие в области ${\displaystyle k_{t1}>k>k_{t2}}$. Этих корней тем больше, чем больше произведение ${\displaystyle k_{t2}h}$. В пределе малой толщины ${\displaystyle k_{t2}h\rightarrow 0}$ существует только одна волна Лява:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

(5.1)

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},}$

(5.2)

${\displaystyle k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],}$

(5.3)

${\displaystyle s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.}$

(5.4)

Примечания

1. Love A. E. H.  Some problems of geodynamics. First published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves).
2. Викторов И. А., 1981, с. 22.
3. Викторов И. А., 1981, с. 24.
4. Викторов И. А., 1981, с. 25.

Литература

• Викторов И. А. . Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н., Перцев Б. П.  Об определении числа Лява по приливным изменениям вращения сжимаемой Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3. — С. 11—14.