Волны Рэлея - NiNa.Az

Во́лны Рэле́я — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея, теоретически предсказавшего их в 1885 году.

Схема волны Рэлея. Показана деформация тела и траектория движения выделенной точки. Для наглядности деформации и смещения утрировано увеличены.

Волна Рэлея генерируется на границе твердой среды.

Описание

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.

Волна Рэлея в изотропном теле

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}}{\partial t^{2}}}=\mu \Delta {\textbf {U}}+(\lambda +\mu )\,{\textrm {grad}}\,{\textrm {div}}{\textbf {U}},}$

(1)

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_l=grad φ и U_t=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{l}}{\partial t^{2}}}-(\lambda +2\mu )\Delta {\textbf {U}}_{l}=0,}$

(2.1)

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{t}}{\partial t^{2}}}-\mu \Delta {\textbf {U}}_{t}=0.}$

(2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-k_{l}^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0,}$

(3.1)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-k_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0,}$

(3.2)

где ${\displaystyle k_{l}=\omega {\sqrt {\rho /(\lambda +2\mu )}},}$ ${\displaystyle k_{t}=\omega {\sqrt {\rho /\mu }},}$ — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн:

${\displaystyle \phi =A{\textrm {exp}}[-qz+i(kx-\omega t)],}$

(4.1)

${\displaystyle \psi =B{\textrm {exp}}[-sz+i(kx-\omega t)],}$

(4.2)

где ${\displaystyle q^{2}=k^{2}-k_{l}^{2}}$; ${\displaystyle s^{2}=k^{2}-k_{t}^{2}}$; ${\displaystyle k^{2}>k_{t}^{2}>k_{l}^{2}}$; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде:

${\displaystyle U_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

(5.1)

${\displaystyle U_{z}={\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

(5.1)

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение:

${\displaystyle T_{zz}=\lambda \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)+2\mu \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial z}}\right)=0,}$

(6.1)

${\displaystyle T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=0.}$

(6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно:

${\displaystyle \eta ^{6}-8\eta ^{4}+8(3-2\xi ^{2})\eta ^{2}-16(1-\xi ^{2})=0,}$

(6)

где ${\displaystyle \eta =k_{t}/k}$, ${\displaystyle \xi =k_{l}/k_{t}}$. Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

${\displaystyle \eta _{R}={\frac {0,87+1,12\nu }{1+\nu }}.}$

(7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны:

${\displaystyle U_{x}=Ak_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2q_{R}s_{R}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right],}$

(8.1)

${\displaystyle U_{z}=Aq_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2k_{R}^{2}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t\right)\right].}$

(8.2)

Дисперсионная кривая псевдорэлеевских волн

Практическое применение волн рэлеевского типа

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.

Примечания

1. Lord Rayleigh. On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1885. — Vol. s1—17, no. 1. — P. 4—11. Архивировано 21 июля 2010 года.
2. Викторов И. А., 1981, с. 11.
3. Викторов И. А., 1981, с. 7.
4. Викторов И. А., 1981, с. 8.
5. Викторов И. А., 1981, с. 9.
6. Викторов И. А., 1981, с. 10.
7. Оценка свойств и состояния грунтов за обделкой транспортных тоннелей по данным 2D-сейсмотомографии. Бойко О. В.  (неопр.) Дата обращения: 10 июля 2015. Архивировано из оригинала 10 июля 2015 года.
8. Определение физико-механических свойств и прочностных характеристик грунтов, перекрытых каменной кладкой, бетонными, железобетонными конструкциями и дорожной одеждой.  (неопр.) Дата обращения: 10 июля 2015. Архивировано из оригинала 9 июля 2015 года.

Литература

• Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.