Магнитная индукция - NiNa.Az

Не следует путать с явлением электромагнитной индукции.

Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Магнитная индукция
${\displaystyle {\vec {B}}}$
Размерность	MT^−2I^−1
Единицы измерения
СИ	Тл
СГС	Гс
Примечания
Векторная величина

Стандартное обозначение: ${\displaystyle {\vec {B}}}$; единица измерения в СИ — тесла (Тл), в СГС — гаусс (Гс) (связь: 1 Тл = 10⁴ Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.

Для измерения магнитной индукции ${\displaystyle {\vec {B}}}$ используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.

Вектор ${\displaystyle {\vec {B}}}$ в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени ${\displaystyle t}$. Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.

Физический смысл

Магнитная индукция ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — это такой вектор, что сила Лоренца ${\displaystyle {\vec {F}}}$, действующая со стороны магнитного поля на заряд ${\displaystyle q^{*}}$, движущийся со скоростью ${\displaystyle {\vec {v}}}$, равна

${\displaystyle {\vec {F}}=q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}$

(по величине ${\displaystyle F=q^{*}vB\sin \alpha }$).

Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор ${\displaystyle {\vec {F}}}$ перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).

Также магнитная индукция может быть определена как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока ${\displaystyle I^{*}}$ в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$.

Способы расчёта

Общий случай

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:

${\displaystyle \mathrm {div} \,(\varepsilon {\vec {E}})={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},}$

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\frac {\vec {B}}{\mu }}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$,

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная, ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость, ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость, а ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме. Через ${\displaystyle \rho }$ обозначена плотность заряда (Кл/м³) и через ${\displaystyle {\vec {j}}}$ плотность тока (А/м²).

Магнитостатика

В магнитостатическом пределе расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу ${\displaystyle L_{1}}$ током ${\displaystyle I}$ и когда оно создаётся объёмным распределением тока:

${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1}}{\frac {I\left({\vec {r}}_{1}\right)d{\vec {l}}_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},\qquad {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}}}$.

В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}}$ в вакууме):

${\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}}$.

Здесь ${\displaystyle S}$ — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур ${\displaystyle L}$.

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током ${\displaystyle I}$ на расстоянии ${\displaystyle a}$ от него составляет

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\mu I}{2\pi a}}\cdot {\vec {e}}_{\varphi }}$,

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }}$ — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током ${\displaystyle I}$ и числом витков на единицу длины ${\displaystyle n}$ равен

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu nI\cdot {\vec {e}}_{z}}$,

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$ — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}}$,

где ${\displaystyle \mu }$ — магнитная проницаемость среды (в общем случае это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

• Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для ${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}}$ — закон отсутствия монополя, для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {E}}}$ — закон электромагнитной индукции Фарадея, для ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}}$ — закон Ампера — Максвелла.
• Формула силы Лоренца при наличии и магнитного (${\displaystyle {\vec {B}}}$), и электрического (${\displaystyle {\vec {E}}}$) поля:

  ${\displaystyle {\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}$.

• Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):

  ${\displaystyle d{\vec {F}}=\left[I^{*}{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]}$ или ${\displaystyle d{\vec {F}}=\left[{\vec {j}}^{*}dV\times {\vec {B}}\right]}$.

• Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь ${\displaystyle m^{*}}$ (виток с током, катушку или постоянный магнит):

  ${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}^{*}\times {\vec {B}}}$.

• Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

  ${\displaystyle U=-{\vec {m}}^{*}\cdot {\vec {B}}}$,

из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,

• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

  ${\displaystyle {\vec {F}}=K{\frac {q_{m}^{*}{\vec {r}}}{r^{3}}}.}$

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

• Выражение для плотности энергии магнитного поля

  ${\displaystyle w={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}\mu }}}$.

Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения

характерные значения магнитной индукции

объект	${\displaystyle B}$, Тл	объект	${\displaystyle B}$, Тл
магнитоэкранируемая комната	10^-14	солнечное пятно	0,15
межзвёздное пространство	10^-10	небольшой магнит (Nd-Fe-B)	0,2
магнитное поле Земли	5*10^-5	большой электромагнит	1,5
1 см от провода с током 100 А	2*10^-3	сильный лабораторный магнит	10
небольшой магнит (феррит)	0,01	поверхность нейтронной звезды	10^8

Примечания

1. Если учитывать и действие электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$, то формула (полной) силы Лоренца принимает вид:

   ${\displaystyle {\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}[{\vec {v}}\times {\vec {B}}].}$

   При отсутствии электрического поля (или если член, описывающий его действие, специально вычесть из полной силы) имеем формулу, приведённую в основном тексте.
2. Это определение с современной точки зрения менее фундаментально, чем приведённое выше (и является просто его следствием), однако с точки зрения близости к одному из практических способов измерения магнитной индукции может быть полезным; также и с исторической точки зрения.
3. То есть в частном случае постоянных токов и постоянных электрического и магнитного полей или — приближённо — если изменения настолько медленны, что ими можно пренебречь.
4. Являющаяся частным магнитостатическим случаем закона Ампера — Максвелла.

См. также

• Векторный потенциал
• Уравнения Максвелла
• Электромагнитное поле
• Тензор электромагнитного поля
• Напряжённость магнитного поля