Фаза колебаний - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Фаза.

Фа́за колеба́ний полная или мгновенная — аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Графики двух гармонических функций (колебаний) одинаковой частоты. Одно из колебаний задержано (сдвинуто) относительно другого на фазовый сдвиг ${\displaystyle \varphi }$. При этом задержка во времени ${\displaystyle t={\frac {\varphi }{2\pi }}\cdot T}$, где ${\displaystyle T}$ — период колебаний

Фаза колебаний начальная — значение аргумента периодической функции в начальный момент времени, то есть при ${\displaystyle t=0}$ (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, то есть при ${\displaystyle t=0}$ в точке с координатами ${\displaystyle (x,\ y,\ z)=0}$ (для волнового процесса).

Фаза колебания (в электротехнике) — аргумент синусоидальной функции (напряжения, тока), отсчитываемый от точки перехода минусового значения через нуль к положительному значению и обратно.

Определения

Фаза колебания — величина, позволяющая определить состояние системы, описываемой периодической функцией в данный момент времени.

Как правило, о фазе говорят применительно к гармоническим колебаниям или монохроматическим волнам.

Величину ${\displaystyle \Phi }$, входящую в аргумент функций косинуса ${\displaystyle \cos \Phi }$ или синуса ${\displaystyle \sin \Phi }$, называют полной фазой колебаний. Изменение полной фазы во времени описывается выражением:

${\displaystyle \Phi =\omega t+\varphi _{0}}$,

величину ${\displaystyle \varphi _{0}}$, которую имеет фаза при ${\displaystyle t=0}$, называют начальной фазой колебания.

При описании некоторой величины, испытывающей гармонические колебания, используется, например, одно из выражений:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота колебания;

${\displaystyle A}$ — амплитуда колебания.

Аналогично, при описании гармонической волны в одномерном случае, например, используются выражения вида:

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle Ae^{i(kx-\omega t+\varphi _{0})}}$,

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда волны;

${\displaystyle k}$ — волновое число;

${\displaystyle x}$ — координата.

для волны в пространстве любой размерности (например, в трёхмерном пространстве):

${\displaystyle A\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle A\sin({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}$,

${\displaystyle Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}}$,

где ${\displaystyle k}$ — волновой вектор.

Фаза колебаний (полная) в этих выражениях — аргумент функции, то есть выражение, записанное в скобках; фаза колебаний начальная — величина ${\displaystyle \varphi _{0}}$, являющаяся одним из слагаемых полной фазы. Говоря о полной фазе, слово полная обычно опускают.

Колебания с одинаковой частотой ${\displaystyle \omega }$ могут иметь различную начальную фазу, например два процесса, описываемые выражениями:

${\displaystyle P_{1}=A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})}$,

${\displaystyle P_{2}=A_{2}\cos(\omega t+\varphi _{2})}$,

имеют разные начальные фазы ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$, при этом величину ${\displaystyle \varphi _{2}-\varphi _{1}}$ называют фазовым сдвигом между двумя колебаниями. Обычно при описании двух колебаний с разными фазами по умолчанию полагают, что начальная фаза одного из колебаний равна нулю, при этом начальная фаза второго колебания полагается равной разности фаз.

Так как ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$, то ${\displaystyle \varphi =\omega t=2\pi t/T}$, где отношение ${\displaystyle t/T}$ указывает, сколько периодов прошло от момента времени ${\displaystyle t_{0}}$. Любому значению времени ${\displaystyle t}$, выраженному в числе периодов ${\displaystyle T}$, соответствует значение фазы ${\displaystyle \varphi }$, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени ${\displaystyle t=T/4}$ (четверти периода) фаза будет ${\displaystyle \varphi =2\pi /4=\pi /2}$, по прошествии половины периода — ${\displaystyle \varphi =2\pi /2=\pi }$, по прошествии целого периода — ${\displaystyle \varphi =2\pi }$, и т. д.

Поскольку функции синус и косинус совпадают друг с другом при сдвиге аргумента (то есть фазы) на ${\displaystyle \pi /2}$, то во избежание путаницы лучше пользоваться для определения начальной фазы только одной из этих двух функций, а не той и другой одновременно. По обычному соглашению фазой считают аргумент косинуса, а не синуса.

То есть, для колебательного процесса (см. выше) фаза (полная):

${\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _{0}}$,

для волны в одномерном пространстве:

${\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _{0}}$,

для волны в трёхмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:

${\displaystyle \varphi ={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота (величина, показывающая, на сколько радиан или градусов изменится фаза за 1 с; чем величина выше, тем быстрее растёт фаза с течением времени);

${\displaystyle t}$ — время;

${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза (то есть фаза при ${\displaystyle t=0}$);

${\displaystyle k}$ — волновое число;

${\displaystyle x}$ — координата точки наблюдения волнового процесса в одномерном пространстве;

${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор;

${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки в пространстве (набор координат, например декартовых).

В приведённых выше выражениях фаза имеет размерность угловых единиц (радианы, градусы). Фазу колебательного процесса по аналогии с механическим вращательным также выражают в циклах, то есть долях периода повторяющегося процесса:

1 цикл = ${\displaystyle 2\pi }$ радиан = 360 угловых градусов.

В аналитических выражениях (в формулах) преимущественно (и по умолчанию) используется представление фазы в радианах, представление в градусах также встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса не принято никогда опускать ни в устной речи, ни в записях). Указание фазы в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в технике сравнительно редко.

Иногда (в квазиклассическом приближении, где используются квазимонохроматические волны, то есть близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические, а также в формализме интеграла по траекториям, где волны могут быть и далёкими от монохроматических, хотя всё же подобны монохроматическим) рассматривается фаза, являющаяся нелинейной функцией времени ${\displaystyle t}$ и пространственных координат ${\displaystyle {\vec {r}}}$, в принципе — произвольная функция:

${\displaystyle \varphi =\varphi ({\vec {r}},t)}$.

Связанные термины

Рассматривая два колебательных процесса одинаковой частоты, говорят о постоянной разности полных фаз (о сдвиге фаз) этих процессов. В общем случае сдвиг фаз может меняться во времени, например из-за угловой модуляции одного или обоих процессов.

Если два колебательных процесса происходят одновременно (например, колеблющиеся величины достигают максимума в один и тот же момент времени), то говорят, что они находятся в фазе (колебания синфазны). Если моменты максимума одного колебания совпадают с моментами минимума другого колебания, то говорят, что колебания находятся в противофазе (колебания противофазны). Если модуль разности фаз равен 90°, то говорят, что колебания находятся в квадратуре или что одно из этих колебаний — квадратурное по отношению к другому колебанию (опорному, «синфазному», то есть служащему для условного определения начальной фазы).

Если амплитуды двух противофазных монохроматических колебательных процессов одинаковы, то при сложении таких колебаний (при их интерференции) в линейной среде происходит взаимное уничтожение колебательных процессов.

Действие

Действие — одна из наиболее фундаментальных физических величин, на которой построено современное описание практически любой достаточно фундаментальной физической системы — по своему физическому смыслу является фазой волновой функции.

См. также

• Волновой фронт

Примечания

1. ГОСТ Р 52002—2003 «Электротехника. Термины и определения основных понятий» даёт следующее определение: «фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению».
2. Тем не менее, нет принципиальной причины выбрать в качестве гармонической функции косинус, а не синус, что иногда и делается некоторыми авторами. Таким образом, обычно в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида ${\displaystyle A\sin(\omega t)}$ считается равной ${\displaystyle -\pi /2}$ (синус отстаёт от косинуса по фазе).
3. Хотя в части случаев накладываются условия на скорость изменения и т. п., несколько ограничивающие произвольность функции.
4. Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и предполагается, что, будучи описана более точно, такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.

Литература

• Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний: учебник для вузов (рус.). — 5-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2024. — 440 с. — ISBN 978-5-507-47579-7.