Категория множеств
Катего́рия мно́жеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.
Свойства категории множеств
- Все эпиморфизмы в Set сюръективны, все мономорфизмы — инъективны, и все изоморфизмы — биекции.
- Пустое множество — начальный объект категории множеств, любой синглетон — терминальный объект.
- Категория Set — полная и кополная категория. Например, в ней существуют произведения (декартовы произведения множеств) и копроизведения (дизъюнктные объединения множеств).
- Set — прототип понятия конкретной категории, категория конкретна, если она «похожа на» Set некотором строго определенным образом.
- Любое двухэлементное подмножество задает классификатор подобъектов в Set, степенной объект множества A является его булеаном, а экспоненциал множеств A и B — множество функций из A в B. Следовательно Set является топосом, в частности, декартово замкнутой категорией.
- Set не является абелевой, аддитивной или предаддитивной. Её нулевые морфизмы — это пустые функции ∅ → X.
- Каждый не начальный объект Set инъективен и (предполагая истинной аксиому выбора) проективен.
Примечания
- Mac Lane, 1969.
- Feferman, 1969.
- Blass, 1984.
- Pareigis, 1970, Section I.7.
Литература
- Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Blass, A. The interaction between category theory and set theory // Contemporary Mathematics. — 1984. — № 30.
- Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 201—247. — (Lecture Notes in Mathematics).
- Lawvere, F. W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 11. — С. 1—35.
- Mac Lane, S. Foundations for categories and sets. — Springer, 1969. — Vol. 92. — P. 146—164. — (Lecture Notes in Mathematics).
- Mac Lane, S. One universe as a foundation for category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 192—200. — (Lecture Notes in Mathematics).
- Pareigis, Bodo. Categories and functors. — Academic Press, 1970. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Категория множеств, Что такое Категория множеств? Что означает Категория множеств?
Katego riya mno zhestv kategoriya obekty kotoroj mnozhestva a morfizmy mezhdu mnozhestvami A i B vse funkcii iz A v B Oboznachaetsya Set V aksiomatike Cermelo Frenkelya mnozhestva vseh mnozhestv ne sushestvuet a rabotat s ponyatiem klassa ne ochen udobno dlya etoj problemy bylo predlozheno neskolko razlichnyh reshenij Svojstva kategorii mnozhestvVse epimorfizmy v Set syurektivny vse monomorfizmy inektivny i vse izomorfizmy biekcii Pustoe mnozhestvo nachalnyj obekt kategorii mnozhestv lyuboj singleton terminalnyj obekt Kategoriya Set polnaya i kopolnaya kategoriya Naprimer v nej sushestvuyut proizvedeniya dekartovy proizvedeniya mnozhestv i koproizvedeniya dizyunktnye obedineniya mnozhestv Set prototip ponyatiya konkretnoj kategorii kategoriya konkretna esli ona pohozha na Set nekotorom strogo opredelennym obrazom Lyuboe dvuhelementnoe podmnozhestvo zadaet klassifikator podobektov v Set stepennoj obekt mnozhestva A yavlyaetsya ego buleanom a eksponencial mnozhestv A i B mnozhestvo funkcij iz A v B Sledovatelno Set yavlyaetsya toposom v chastnosti dekartovo zamknutoj kategoriej Set ne yavlyaetsya abelevoj additivnoj ili predadditivnoj Eyo nulevye morfizmy eto pustye funkcii X Kazhdyj ne nachalnyj obekt Set inektiven i predpolagaya istinnoj aksiomu vybora proektiven PrimechaniyaMac Lane 1969 Feferman 1969 Blass 1984 Pareigis 1970 Section I 7 LiteraturaMaklejn S Glava 1 Kategorii funktory i estestvennye preobrazovaniya Kategorii dlya rabotayushego matematika Categories for the working mathematician Per s angl pod red V A Artamonova M Fizmatlit 2004 S 17 42 352 s ISBN 5 9221 0400 4 Blass A The interaction between category theory and set theory Contemporary Mathematics 1984 30 Feferman S Set theoretical foundations of category theory Springer 1969 Vol 106 P 201 247 Lecture Notes in Mathematics Lawvere F W An elementary theory of the category of sets long version with commentary Reprints in Theory and Applications of Categories 2005 11 S 1 35 Mac Lane S Foundations for categories and sets Springer 1969 Vol 92 P 146 164 Lecture Notes in Mathematics Mac Lane S One universe as a foundation for category theory Springer 1969 Vol 106 P 192 200 Lecture Notes in Mathematics Pareigis Bodo Categories and functors Academic Press 1970 Pure and applied mathematics ISBN 978 0 12 545150 5
