Эллиптические уравнения - NiNa.Az

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u:R^{n}\rightarrow R}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

${\displaystyle \left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

${\displaystyle Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle L}$ — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

• Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона описывают различные стационарные физические поля.
• Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
• Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. В этом случае эллиптические уравнения получаются из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях, является уравнение Гельмгольца.
• Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса для устоявшегося течения,

а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также

• Задача Дирихле
• Условия Коши — Римана
• Параболическое уравнение
• Гиперболическое уравнение

Примечания

1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — Москва: Наука, 1977.