Эйлерова характеристика - NiNa.Az

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle \chi (X)}$. Она находит применения в классификации топологических пространств, кристаллографии и алгоритмах компьютерной графики.

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности, для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  ${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ обозначает число клеток размерности ${\displaystyle i}$.

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти ${\displaystyle b_{n}}$ как знакопеременная сумма:

  ${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}$

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
• Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
• Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле ${\displaystyle \chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,}$ где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:

  ${\displaystyle \Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.}$

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) ${\displaystyle S}$ без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (S)}$ с гауссовой кривизной ${\displaystyle K}$ многообразия:

${\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}$

где ${\displaystyle d\sigma }$ — элемент площади поверхности ${\displaystyle S}$.

• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на ${\displaystyle 2\pi }$.
• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

${\displaystyle \chi =2-2g.\ }$

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

${\displaystyle \chi =2-k.\ }$

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок		1
Окружность		0
Круг		1
сфера		2
Тор (произведение двух окружностей)		0
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Вещественная проективная плоскость		1
Лента Мёбиуса		0
Бутылка Клейна		0
Две сферы (несвязные)		2 + 2 = 4
Три сферы		2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество вершин, граней и рёбер трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

${\displaystyle S+H=A+2,}$

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое ${\displaystyle (-2g),}$ где ${\displaystyle g}$ — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: ${\displaystyle 16+16=32+2-2\cdot 1.}$

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}$

где ${\displaystyle A_{i}}$ — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}$

Вариации и обобщения

• Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

1. Richeson 2008, p. 261
2. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem  (неопр.). Дата обращения: 19 января 2011. Архивировано 28 июня 2010 года.
3. L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita Архивная копия от 22 декабря 2012 на Wayback Machine. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94-108.
   • Перевод на английский язык: Leonhard Euler Proof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed Архивная копия от 23 июня 2011 на Wayback Machine. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
4. H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Литература

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
• Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна