Спорадическая группа

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что ^[англ.] состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической и в этом случае является 27-й спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или ^[англ.] все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

Диаграмма показывает подфакторные связи спорадических групп.

группы Матьё ^[англ.], ^[англ.], ^[англ.], ^[англ.], ^[англ.]
группы Янко ^[англ.], J₂ или HJ, ^[англ.], ^[англ.]
Группы Конвея Co₁, ^[англ.], ^[англ.]
Группы Фишера ^[англ.], ^[англ.], ^[англ.]
^[англ.]HS
^[англ.]McL
^[англ.]He или F₇₊, или F₇
Группа Рудвалиса Ru
^[англ.]Suz или F₃₋
^[англ.]O’N
^[англ.]HN или F₅₊, или F₅
^[англ.]Ly
^[англ.]Th или F_3|3, или F₃
^[англ.]B или F₂₊, или F₂
Группа «Монстр» Фишера-Грейса M или F₁

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда, где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Система

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или ^[англ.].

I. Парии

Шесть исключений J₁, J₃, J₄, O’N, Ru и Ly иногда называют ^[англ.].

II. Счастливое Семейство

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал ^[англ.]) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Группы M_n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M₂₄, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Все ^[англ.]группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича:

Co₁ — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1}
Co₂ — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
Co₃ — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
J₂ — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M:

B или F₂ имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
Fi₂₄′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A»)
Fi₂₃ является подгруппой Fi₂₄′
Fi₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi₂₃
Произведение Th = F₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C»)
Произведение HN = F₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
Произведение He = F₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M₁₂ и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа $S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}$ , нормализующая 2C² подгруппу B, порождающая подгруппу $2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ , нормализующую некоторую подгруппу Q₈ Монстра. ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ является также подгруппой групп Фишера Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄′ и «малого Монстра» B. ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп

Группа	Поколение	Порядок (последовательность A001228 в OEIS)	Значащих цифр	Разложение	Тройка Стандартных генераторов (a, b, ab)	Другие условия
F₁ или M	третье	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8⋅10⁵³	2⁴⁶ • 3²⁰ • 5⁹ • 7⁶ • 11² • 13³ • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
^[англ.]	третье	4154781481226426191177580544000000	≈ 4⋅10³³	$2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47$	2C, 3A, 55	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23$
^[англ.]	третье	1255205709190661721292800	≈ 1⋅10²⁴	2²¹ • 3¹⁶ • 5² • 7³ • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	$o((ab)^{3}b)=33$
^[англ.]	третье	4089470473293004800	≈ 4⋅10¹⁸	2¹⁸ • 3¹³ • 5² • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
^[англ.]	третье	64561751654400	≈ 6⋅10¹³	2¹⁷ • 3⁹ • 5² • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12$
^[англ.]	третье	90745943887872000	≈ 9⋅10¹⁶	2¹⁵ • 3¹⁰ • 5³ • 7² • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
^[англ.]	пария	51765179004000000	≈ 5⋅10¹⁶	2⁸ • 3⁷ • 5⁶ • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	$o(ababab^{2})=67$
^[англ.]	третье	273030912000000	≈ 3⋅10¹⁴	2¹⁴ • 3⁶ • 5⁶ • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co₁	второе	4157776806543360000	≈ 4⋅10¹⁸	2²¹ • 3⁹ • 5⁴ • 7² • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
^[англ.]	второе	42305421312000	≈ 4⋅10¹³	2¹⁸ • 3⁶ • 5³ • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
^[англ.]	второе	495766656000	≈ 5⋅10¹¹	2¹⁰ • 3⁷ • 5³ • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
^[англ.]	пария	460815505920	≈ 5⋅10¹¹	2⁹ • 3⁴ • 5 • 7³ • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
^[англ.]	второе	448345497600	≈ 4⋅10¹¹	2¹³ • 3⁷ • 5² • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	пария	145926144000	≈ 1⋅10¹¹	2¹⁴ • 3³ • 5³ • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
^[англ.]	третье	4030387200	≈ 4⋅10⁹	2¹⁰ • 3³ • 5² • 7³ • 17	2A, 7C, 17
^[англ.]	второе	898128000	≈ 9⋅10⁸	2⁷ • 3⁶ • 5³ • 7 • 11	2A, 5A, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7$
^[англ.]	второе	44352000	≈ 4⋅10⁷	2⁹ • 3² • 5³ • 7 • 11	2A, 5A, 11
^[англ.]	пария	86775571046077562880	≈ 9⋅10¹⁹	2²¹ • 3³ • 5 • 7 • 11³ • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	$o(abab^{2})=10$
^[англ.]	пария	50232960	≈ 5⋅10⁷	2⁷ • 3⁵ • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J₂ или HJ	второе	604800	≈ 6⋅10⁵	2⁷ • 3³ • 5² • 7	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
^[англ.]	пария	175560	≈ 2⋅10⁵	2³ • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	$o(abab^{2})=19$
^[англ.]	первое	244823040	≈ 2⋅10⁸	2¹⁰ • 3³ • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	$o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$
^[англ.]	первое	10200960	≈ 1⋅10⁷	2⁷ • 3² • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8$
^[англ.]	первое	443520	≈ 4⋅10⁵	2⁷ • 3² • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	$o(abab^{2})=11$
^[англ.]	первое	95040	≈ 1⋅10⁵	2⁶ • 3³ • 5 • 11	2B, 3B, 11
^[англ.]	первое	7920	≈ 8⋅10³	2⁴ • 3² • 5 • 11	2, 4, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$

Примечания

Например, согласно Конвею.
Burnside, 1911, с. 504, note N.
Ronan, 2006.
Wilson RA. An Atlas of Sporadic Group Representations (неопр.) (1998). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 4 января 2018 года.
Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups (неопр.) (2000).
Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadic Groups (неопр.) (1999). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 8 января 2012 года.

Литература

William Burnside. Theory of groups of finite order. — 1911. — С. 504 (note N). — ISBN 0-486-49575-2.
Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398. — Zbl 0186.32401.
Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Wilson R. A. Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853199-0.
Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups. — American Mathematical Society, 1994. Выпуски 1, 2, …
Robert L. Griess. Twelve Sporadic Groups. — Springer-Verlag, 1998. — ISBN 3540627782.
Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Sporadic Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups

[1] Например, согласно Конвею.

[_88f68378ebe399ea-2] Burnside, 1911, с. 504, note N.

[_a05897571a34b30f-3] Ronan, 2006.

[4] Wilson RA. An Atlas of Sporadic Group Representations (неопр.) (1998). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 4 января 2018 года.

[5] Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups (неопр.) (2000).

[6] Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadic Groups (неопр.) (1999). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 8 января 2012 года.

Спорадическая группа

Имена спорадических групп

Система

I. Парии

II. Счастливое Семейство

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Таблица порядков спорадических групп

Примечания

Литература

Ссылки

NiNa.Az

Император Конин

Император Кобун

Император Коан

Император Когэн

Император Итоку