Сфеническое число - NiNa.Az

Сфеническое число (англ. sphenic number, от др.-греч. σφήν — «клин») — натуральное число, равное произведению трёх различных простых чисел (так, например, ${\displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5}$; соответственно, число 30 является сфеническим).

Свойства

• Количество делителей произвольного сфенического числа всегда равно 8. Например, если ${\displaystyle n=p\cdot q\cdot r}$, где ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$ — разные простые числа, то делителями ${\displaystyle n}$ будут ${\displaystyle \left\{1,\ p,\ q,\ r,\ pq,\ pr,\ qr,\ n\right\}}$. Так первое сфеническое число 30 имеет делители 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.
  • Обратное, вообще говоря, неверно: например, числа вида ${\displaystyle n=p^{3}\cdot q}$, где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — разные простые числа, также имеют 8 делителей ${\displaystyle \left\{1,\ p,\ p^{2},\ p^{3},\ q,\ pq,\ p^{2}q,\ n\right\}}$, но не являются сфеническими.

• Функция Мёбиуса произвольного сфенического числа равна −1.

Примеры

Сфенические числа образуют последовательность (A007304 в OEIS):

30, 42, 66, 70, 78, 102, , 110, , 130, 138, 154, , 170, , , 186, , , …

В частности:

• ${\displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5}$
• ${\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7}$
• ${\displaystyle 66=2\cdot 3\cdot 11}$
• ${\displaystyle 70=2\cdot 5\cdot 7}$
• ${\displaystyle 78=2\cdot 3\cdot 13}$
• ${\displaystyle ...}$

Примером двух последовательных сфенических чисел являются (230 = 2 · 5 · 23) и (231 = 3 · 7 · 11). Примером трёх последовательных сфенических чисел являются (1309 = 7 · 11 · 17), (1310 = 2 · 5 · 131) и (1311 = 3 · 19 · 23). Более чем трёх последовательных сфенических чисел быть не может, поскольку каждое четвёртое натуральное число будет делиться на 4.

Наибольшим известным сфеническим числом является (2^82589933 − 1) · (2^77232917 − 1) · (2^74207281 − 1), произведение трёх крупнейших известных простых чисел (на 07.06.2019).

См. также

• Полупростое число — число, представимое произведением двух простых чисел.

Примечания

1. Mysteries and Secrets: The 16-Book Complete Codex: Mysteries and Secrets of ... - Lionel and Patricia Fanthorpe - Google Книги  (неопр.). books.google.com.ua. Дата обращения: 1 ноября 2017. Архивировано 7 ноября 2017 года.
2. Sphenic Number -- from Wolfram MathWorld  (неопр.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 1 ноября 2017. Архивировано 7 ноября 2017 года.
3. The Top Twenty: Largest Known Primes (англ.). University of Tennessee at Martin. Дата обращения: 10 октября 2011. Архивировано 31 августа 2012 года.