Формула Остроградского - NiNa.Az

Термин «Формула Гаусса» имеет также другие значения.

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$ равен интегралу от ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} ,}$ взятому по объему ${\displaystyle V}$, ограниченному поверхностью ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v} }$

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

${\displaystyle \iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz}$

${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$ - проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в бездивергентном поле (${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} =0}$) поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через любую замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$, являющуюся полной границей некоторого тела ${\displaystyle V}$, равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности ${\displaystyle S}$ имеется источник или сток, то поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через эту поверхность, убывающий с расстоянием как ${\displaystyle 1/r^{2}}$, не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,}$

где ${\displaystyle d\omega }$ и ${\displaystyle ds}$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. ${\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)}$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,}$

где ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}$, ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx}}$ и ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}$. В современной записи ${\displaystyle \omega =d\Omega }$ — элемент объёма, ${\displaystyle s=dS}$ — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от ${\displaystyle n}$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации ${\displaystyle n}$-кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина
• Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса

Примечания

1. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Теорема Остроградского // Математический словарь высшей школы (рус.). — Издательство МПИ. — С. 437.
2. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса (рус.) / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.
3. В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
4. Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).