Полярные координаты - NiNa.Az

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

Полярные координаты

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$.

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным.

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$; полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось ${\displaystyle OX}$ до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$.

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$).

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональна. Ортогональные ^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle A}$).

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину ${\displaystyle \varphi +k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание).

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$.

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат.

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин .

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают . В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Определение полярной системы координат

Полярная система координат

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось) — система координат на плоскости, которую определяют следующие пять объектов (см. рисунок справа с этими объектами):

• масштаб, то есть единица измерения длины;
• единица измерения плоских углов (обычно радиан);
• ориентация плоскости, то есть направление её вращения, которое выбрано положительным (обычно против часовой стрелки);
• фиксированная точка плоскости ${\displaystyle O}$. Эта точка называется началом, или полюсом, системы координат;
• луч ${\displaystyle OX}$, исходящий из точки ${\displaystyle O}$ и от неё направленный (обычно горизонтальный). Этот луч называется полярной осью.

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел:

• первая полярная координата, или полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$;
• вторая полярная координата, или полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$.

Точка ${\displaystyle M}$, имеющая полярные координаты, обозначаемые греческими буквами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, записываетсчя символом ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ (иногда ${\displaystyle M\langle \varphi ,r\rangle }$).

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$).

Раньше первой полярной координатой могли называть полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, а второй — полярный радиус ${\displaystyle \rho }$. Полярный радиус также могут обозначать латинской буквой ${\displaystyle r}$, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ могут называть амплитудой, или фазой, и обозначать ${\displaystyle \theta }$.

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональна. Ортогональные ^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle N}$. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle A}$ (см. рисунок справа с этими точками).

Каждой паре значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ соответствует только одна точка плоскости, но одной и той же точке плоскости ${\displaystyle M}$ соответствует бесконечное множество значений полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, отличающихся друг от друга на число, кратное ${\displaystyle 2\pi }$ (см. пример 1).

Как правило, полагают, что значения полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ точек плоскости, отличных от полюса, лежат в следующих границах:

${\displaystyle 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$

(иногда ${\displaystyle \quad 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$).

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным.

Главное значение полярного угла — значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, при котором получается взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат. Как правило, это значения ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$ (иногда используются значения ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$).

Примеры главных значений полярных углов. Точке плоскости ${\displaystyle N}$ из предыдущего примера отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}+2k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ есть целое число, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$. Точке плоскости ${\displaystyle A}$ из примера 1 отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2k\pi }$, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi =0}$.

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Например (имеется более подробное описание):

• при вращении некоторой точки по окружности в обе стороны (когда ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$) естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать значения, большие ${\displaystyle 2\pi }$ или меньшие нуля;
• при движении точки по прямой, проходящей через полюс (когда ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$), естественно считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$.

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат.

Связь полярных и декартовых координат

Соответствие полярной и декартовой систем координат

Иногда приходится одновременно использовать и полярную и декартову системы координат. в такой ситуации появляются две задачи: по полярным координата некоторой точки определить её декартовы координаты, и наоборот. Решим эти две задачи в частном случае, когда полярная и декартова системы координат связаны определённым образом.

Если на плоскости задана некоторая полярная система координат, то тем самым задана и следующая строго определённая декартова система координат, и наоборот.

Декартова система координат, определённая данной полярной — система координат, определённая следующим образом:

• масштаб декартовой системы равен масштабу полярной;
• начало декартовой системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом полярной ${\displaystyle O}$;
• положительная полуось абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы совпадает с полярной осью ${\displaystyle OX}$;
• ориентация декартовой системы совпадает с ориентацией полярной;
• ось ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы совпадает с её осью абсцисс ${\displaystyle OX}$, повёрнутой на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении.

Полярная система координат, определённая данной декартовой — система координат, определённая следующим образом:

• масштаб полярной системы равен масштабу декартовой;
• начало полярной системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом декартовой ${\displaystyle O}$;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$ совпадает с положительной полуосью абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы;
• ориентация полярной системы совпадает с ориентацией декартовой;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$, повёрнутая на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении, совпадает с положительной полуосью ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы.

Если для данной декартовой системы координат построить определённую ею полярную, а потом для этой полярной системы координат построить определённую ею декартову, то получится исходная декартова система координат. И наоборот.

В итоге получаем следующую теорему.

Теорема соответствия систем координат. Каждой декартовой системы координат соответствует строго определённая полярная, и наоборот.

Формулы перехода между полярными и декартовыми координатами

Полярные и декартовы координаты

Положительный полярный радиус

В случае положительного полярного радиуса ${\displaystyle \rho \geqslant 0}$ очень легко доказывается следующая достаточно очевидная теорема.

Теорема представления декартовых координат. Формулы, выражающие декартовы координаты через полярные, имеют следующий вид:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Следующую теорему можно легко доказать непосредственно или вывести её из предыдущей теоремы.

Теорема представления полярных координат. Формулы, выражающие полярные координаты через декартовы, имеют следующий вид:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}.}$

Следует иметь ввиду, что одной формулы ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$ или только одной из формул ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$, ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ недостаточно для правильного определения полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, что подтверждает следующая задача.

Задача вычисления полярных координат. Пусть декартовы координаты точки ${\displaystyle M}$ плоскости равны ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=-2}$. Вычислит полярные координаты этой точки.

Решение. 1. Сразу получаем: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {2^{2}+(-2)^{2}}}=2{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {-2}{2}}=-1}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение, и главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ равно ${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$.

2. Используем другую формулу: ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {2}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение. Получили то же самое, что и раньше.

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}$

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle x}$, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций, помимо функции обычного арктангенса, ещё и дополнительную функцию арктангенса с двумя аргументами для числителя и знаменателя. Например, в системе компьютерной алгебры Mathematica язык программирования Wolfram поддерживает функцию ArcTan, которую можно использовать как с одним аргументом, так и с двумя.

Полярный радиус любого знака

Пусть полярный радиус может принимать любые вещественные значения. Тогда формулы перехода между полярными и декартовыми координатами принимают другой вид (три формулы остаются прежними, три формулы изменяются):

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}},}$

причём для конкретной точки на плоскости в знаке плюс-минус берётся либо только плюс, либо только минус.

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$ при ${\displaystyle \rho <0}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x>0,y\geqslant ;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x<0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}$

Обобщённая полярная система координат

Формулы перехода от полярной системы координат к декартовой позволяют сформулировать более простое определение полярной системы координат.

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$.

Такое определение даёт возможность ввести следующее понятие обобщённой полярной системы координат.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$.

Окружность, проходящая через полюс

Окружность, проходящая через полюс

Окружность, проходящая через полюс — окружность, на которой находится полюс ${\displaystyle O}$ полярной системы координат. Использование такой окружности достаточно распространено в геометрии, например, на её уравнении основан вывод уравнений улитки Паскаля и кардиоиды. В декартовой системе координат ${\displaystyle XOY}$ уравнение такой окружности радиуса ${\displaystyle R}$ легко получается по теореме Пифагора (см. рисунок справа с прямоугольным треугольником ${\displaystyle CMP}$):

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

причём центр ${\displaystyle C}$ окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$.

С помощью формул

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

легко вычисляется уравнение этой окружности в полярной системе координат с полюсом ${\displaystyle O}$ и полярной осью ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle \rho ^{2}-2R\rho \cos \varphi =0}$.

Полученное уравнение окружности распадается на два уравнения:

${\displaystyle \rho =0}$;

${\displaystyle \rho -2R\cos \varphi =0}$.

Первое уравнение есть уравнение полюса ${\displaystyle O}$. Второе уравнение есть уравнение всей окружности, при этом полюс ${\displaystyle O}$ получается при ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ и ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$. Следовательно, первое уравнение можно отбросить, окончательно получаем уравнение такой окружности в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho =2R\cos \varphi }$.

Это уравнение можно получить непосредственно, без привлечения декартовой системы координат, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ${\displaystyle MOK}$ (см. рисунок справа вверху с этим треугольником).

Приведём уравнения окружности, проходящей через полюс, соответственно в декартовой и полярной системах координат с центром окружности, находящимся:

• на положительной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y+R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle (x+R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\cos \varphi }$.

Использование отрицательных значений полярного радиуса

Окружность, проходящая через полюс

Рассмотрим следующее уравнение окружности, проходящей через полюс:

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

когда центр окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$ (см. рисунок справа с такой окружностью). Если использовать только неотрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$ и не вводить отрицательных, то в этом уравнении угол ${\displaystyle \varphi }$ можно использовать только в первой и четвёртой четвертях, а во второй и третьей — нельзя, поскольку, например, при ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$ из уравнения следует ${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}}}$. Это вытекает из того, что луч ${\displaystyle ON}$ и окружность имеют только одну общую точку: полюс.

Но в том случае, когда используются отрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$, то как раз полярные координаты

${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$

и соответствуют точке ${\displaystyle L}$ на продолжении луча ${\displaystyle ON}$.

Дифференциальные характеристики

Первые и вторые производные

Якобианы

Независимо от знаков декартовых координат частные производные функций перехода между полярными и декартовыми координатами

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$

имеют следующий очень простой вид, благодаря чему получаем удобные якобианы:

${\displaystyle \det {\frac {D(x,\,y)}{D(\rho ,\,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-\rho \sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\rho \cos(\varphi )\end{vmatrix}}=\rho }$;

${\displaystyle \det {\frac {D(\rho ,\;\varphi )}{D(x,\;y)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial \rho }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \rho }{\partial y}}\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{\rho }}\sin(\varphi )&{\dfrac {1}{\rho }}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}={\dfrac {1}{\rho }}}$.

Элемент длины

Непосредственное вычисление

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.}$

Элемент длины в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть дана некоторая дуга и произвольную точку ${\displaystyle M}$ на ней (см. рисунок справа с толстой синей дугой). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат ${\displaystyle O}$) радиуса ${\displaystyle OM=\rho }$. Рассмотрим криволинейный треугольник ${\displaystyle MKN}$, образованный дугой окружности ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi }$, отрезком ${\displaystyle KN=\Delta \rho }$ и частью ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l}$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине ${\displaystyle K}$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}}$,

то есть в других обозначениях

${\displaystyle \Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги ${\displaystyle l}$ в полярной системе координат.

Использование элемента длины из декартовых координат

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

${\displaystyle dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi }$,

${\displaystyle dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi }$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим:

${\displaystyle dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$.

Другие формулы

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle L_{\rho }=1,\quad }$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho .}$

Элемент площади:

${\displaystyle ds=\rho d\rho d\varphi .}$

Векторные операции

Градиенты:

${\displaystyle \operatorname {grad} _{\rho }f={\frac {\partial f}{\partial \rho }},\quad }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} _{\varphi }f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}.}$

Дивергенция:

${\displaystyle \operatorname {div} a={\frac {1}{\rho }}a_{\rho }+{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Оператор Лапласа:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Окружность, заданная уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=1}}$

Общее уравнение окружности с центром в (${\displaystyle r_{0},\;\theta }$) и радиусом ${\displaystyle a}$ имеет вид:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

${\displaystyle r(\varphi )=a}$

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом ${\displaystyle a}$