Микроканонический ансамбль - NiNa.Az

Микроканонический ансамбль — статистический ансамбль макроскопической изолированной системы с постоянными значениями объёма V, числа частиц N и энергии E. Понятие микроканонического ансамбля является идеализацией, так как в действительности полностью изолированных систем не существует. В микроканоническом распределении Гиббса все микроскопические состояния, отвечающие данной энергии, равновероятны согласно эргодической гипотезе. , доказанная автором, утверждает, что малую часть микроканонического ансамбля можно рассматривать в качестве канонического ансамбля.

Представление микроканонического ансамбля в фазовом пространстве. Система находится между энергетическими уровнями E и E + ΔE.

Классическая статистика

Если через H (q, p) обозначить функцию Гамильтона, то есть энергию системы в зависимости от координат q и импульсов p каждой частицы, то функция распределения частиц по ним будет равномерной и отличной от нуля лишь на H (q, p)=E:

${\displaystyle \rho (q,p)=g^{-1}\delta (H(q,p)-E)}$,

где δ — дельта-функция, а постоянная g — плотность состояний (то есть фазового объёма), определяемая условием нормировки функции распределения на единицу при интегрировании по всем различным микросостояниям:

${\displaystyle {\frac {1}{N!}}\int \rho (q,p)d\Gamma =1}$

dГ — элемент , который в классическом случае равен ${\displaystyle d\Gamma =dpdq}$, а в квантовом случае в трёхмерном пространстве ${\displaystyle d\Gamma =dpdq/h^{3N}}$, где h — постоянная Планка (${\displaystyle h=2\pi \hbar }$). То есть, элемент фазового объёма dГ ,выраженный с помощью постоянной Дирака, ${\displaystyle d\Gamma ={\frac {dpdq}{(2\pi \hbar )^{3N}}}}$

Интервал энергии

Если система имеет энергию Е с точностью ΔE, то состояния с энергиями в слое (E, E + ΔE) также предполагаются равновероятными: ${\displaystyle \rho (q,p)={\begin{cases}{\frac {1}{g\Delta E}},&E\leq H(q,p)\leq E+\Delta E\\0,&|H(p,q)-E|>\Delta E\end{cases}}}$

Здесь нормировочным множителем ${\displaystyle g\Delta E={\frac {d\Gamma }{dE}}\Delta E=\Delta \Gamma (E,N,V)}$ выступает статистический вес (то есть число состояний в слое, его фазовый объём), определяемый заданными параметрами макросостояния.

Квантовая статистика

В квантовых системах ΔE обусловлено соотношением неопределённостей в связи со временем наблюдения. При этом можно рассматривать ансамбль полностью изолированных систем, когда ΔE/E → 0. Равномерное распределение вероятностей ${\displaystyle w(E_{k})}$ квантовых состояний с энергиями ${\displaystyle E_{k}}$ в слое (E, E + ΔE) имеет аналогичный вышеописанному вид: ${\displaystyle w(E_{k})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta \Gamma }},&E\leq E_{k}\leq E+\Delta E\\0,&|E_{k}-E|>\Delta E\end{cases}}}$

Нормировка при этом дискретна: ${\displaystyle \sum _{k}w(E_{k})=1}$

Термодинамика

Термодинамические потенциалы, а с ними и вся термодинамика микроканонического ансамбля строится из энтропии, напрямую связанной со статистическим весом формулой Больцмана: ${\displaystyle S(E,N,V)=k~ln\Delta \Gamma (E,N,V)}$, где k — постоянная Больцмана.

Микроканоническое распределение неудобно здесь для практического применения, так как для вычисления статистического веса необходимо вычислить все микросостояния системы.

Численное моделирование

Численное моделирование методом Монте-Карло микроканонического ансамбля также таит в себе затруднение — ведь энергия строго фиксирована, поэтому её случайное изменение не должно забываться, а отдаваться и забираться на каждом шаге через виртуальную подсистему («демона», аналога демона Максвелла), энергия которой не должна перескакивать нулевой порог (условие принятия конфигурации в шаге Монте-Карло).

См. также

• Канонический ансамбль
• Большой канонический ансамбль
• Изотермо-изобарический ансамбль

Ссылки

• Микроканонический ансамбль — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Базаров, Геворкян «Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем»
• Ландау, Лифшиц «Теоретическая физика» Том 5 — Статистическая физика. Часть 1
• Численное моделирование микроканонического ансамбля методом Монте-Карло на Си в Linux