Проколотая окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

На **плоскости** подмножество $V$ является окрестностью точки $p$ , если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в $V$ .

Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

Определения

Математический анализ

Пусть $\varepsilon >0$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки $x_{0}$ на числовой прямой (иногда говорят $\varepsilon$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от $x_{0}$ менее чем на $\varepsilon$ , то есть $O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}$ .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый $\varepsilon$ -шар с центром в точке $x_{0}$ .

В банаховом пространстве $(B,\|\cdot \|)$ окрестностью с центром в точке $x_{0}$ называют множество $A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}$ .

В метрическом пространстве $(M,\rho )$ окрестностью с центром в точке $y$ называют множество $A=\{x\in M:\rho (x,y)<\varepsilon \}$ .

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$ , где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология.

Множество $V\subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$ , если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}}$ такое, что $x\in U\subset V$ .
Аналогично окрестностью множества $M\subset X$ называется такое множество $V\subset X$ , что существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}}$ , для которого выполнено $M\subset U\subset V$ .

Замечания

В Викисловаре есть статья «окрестность»

Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$ . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
Окрестностью множества точек $M$ называется такое множество $V$ , что $V$ есть окрестность любой точки $x\in M$ .

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $(-1,2)$ является открытой окрестностью, а $[-1,2]$ — замкнутой окрестностью точки $0$ .

Вариации и обобщения