Схема выделения - NiNa.Az

Схема аксиом выделения является частью аксиоматики Цермело-Френкеля теории множеств. Схема аксиом не является отдельной аксиомой, а является правилом составления аксиом.

Схема аксиом выделения утверждает возможность построения (другими словами, существование) множества ${\displaystyle Y}$ по заданному произвольному множеству ${\displaystyle X}$ и произвольной формуле (одноместному предикату) ${\displaystyle \varphi (t)}$ следующим образом: элементами ${\displaystyle y}$ множества ${\displaystyle Y}$ являются в точности те элементы ${\displaystyle a}$ множества ${\displaystyle X}$, для которых истинна формула ${\displaystyle \varphi (a)}$ (при этом говорят, что ${\displaystyle a}$ обладает свойством ${\displaystyle \varphi (a)}$). Построенное множество обозначается следующим образом: {${\displaystyle {y\in X:\varphi (y)}}$}.

Значение схемы аксиом усматривается в отказе от идеи, что формула ${\displaystyle \varphi (t)}$ сама по себе определяет множество элементов ${\displaystyle t}$, удовлетворяющих формуле ${\displaystyle \varphi }$. Взамен утверждается, что формула ${\displaystyle \varphi (t)}$ определяет множество элементов ${\displaystyle t}$, удовлетворяющих формуле ${\displaystyle \varphi }$, лишь при условии, что указанные элементы ${\displaystyle t}$ уже являлись элементами некоторого ранее построенного множества.

Используя схему аксиом выделения и аксиому существования можно показать, что существует пустое множество. Для этого возьмём в качестве ${\displaystyle \varphi (t)}$ формулу ${\displaystyle \neg (t=t)}$.

Литература

• А.А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств (рус.). — Мир, 1966.
• О.В. Сипачёва. Начала общей топологии (рус.). — МЦНМО, 2024.

Примечания

1. Ольга Викторовна Сипачёва. Начала общей топологии (рус.). — МЦНМО, 2024. — С. 18.
2. А.А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств (рус.). — Мир, 1966. — С. 55, 56.
3. Аксиома существования гласит, что множества существуют. Аксиома существования формально не является обязательной, поскольку выводится из аксиомы бесконечности.