Фундаментальная последовательность - NiNa.Az

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное.

Определение

Последовательность точек ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

Для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое натуральное ${\displaystyle N}$, что ${\displaystyle \rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon \ }$ для всех ${\displaystyle n,m>N}$.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Свойства

• Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
• Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
• Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
• Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.