Замкнутая траектория
Предельный цикл — это один из возможных вариантов стационарного состояния системы в теории динамических систем и дифференциальных уравнений; предельным циклом векторного поля на фазовой плоскости или, более обобщённо, на каком-либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.
Теоремы Пуанкаре — Бендиксона и утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости (физически говоря — состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами, скажем, напряжением и током, или положением и скоростью точки на прямой) может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.
Динамика в окрестности предельного цикла
Как следует из определения, с каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково — цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание — говорят о полуустойчивом цикле.
Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке, трансверсальном к циклу, — для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл является притягивающим или отталкивающим тогда и только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая. Цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична — то есть, имеет производную, отличную от 
. В этом случае, если производная по модулю больше 1, цикл неустойчив, если меньше — устойчив.
Стоит отметить, что обычно — в частности, для динамики на плоскости или на сфере (вообще, исключая только случай динамики на неориентируемом многообразии) — отображение Пуанкаре сохраняет ориентацию, поэтому часто говорят просто о производной отображения Пуанкаре, не оговаривая отдельно взятие её модуля.
Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми возмущениями — если у исходного векторного поля был гиперболический предельный цикл, то у любого поля, 
-близкого к нему, также найдётся близкий к исходному гиперболический предельный цикл.
Бифуркации
Седлоузловая бифуркация
Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает.
С точки зрения комплексификации (в случае аналитического векторного поля) эта бифуркация может рассматриваться как уход предельного цикла в комплексную область.
Катастрофа голубого неба
Однако на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов возможна и более сложная бифуркация — так называемая катастрофа голубого неба. А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации.
Физический пример: осциллятор Ван дер Поля
Этот раздел нужно дополнить. |
- Осциллятор Ван дер Поля
- Van der Pol oscillator Архивная копия от 9 июля 2009 на Wayback Machine в Scholarpedia.
16-я проблема Гильберта
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. В отличие от первой — алгебраической — части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов.
Этот раздел нужно дополнить. |
См. также
- Седлоузловая бифуркация
- Бифуркация Андронова — Хопфа
- Катастрофа голубого неба
- Шестнадцатая проблема Гильберта
Литература
- Каток А. Б., [нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.
- Ю. С. Ильяшенко, Динамические системы и философия общности положения, М.:МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
- Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Замкнутая траектория, Что такое Замкнутая траектория? Что означает Замкнутая траектория?
Predelnyj cikl eto odin iz vozmozhnyh variantov stacionarnogo sostoyaniya sistemy v teorii dinamicheskih sistem i differencialnyh uravnenij predelnym ciklom vektornogo polya na fazovoj ploskosti ili bolee obobshyonno na kakom libo dvumernom mnogoobrazii nazyvaetsya zamknutaya periodicheskaya etogo vektornogo polya v okrestnosti kotoroj net drugih periodicheskih traektorij Ekvivalentnym yavlyaetsya utverzhdenie chto vsyakaya dostatochno blizkaya k predelnomu ciklu traektoriya stremitsya k nemu libo v pryamom libo v obratnom vremeni Teoremy Puankare Bendiksona i utverzhdayut chto tipichnaya sistema s nepreryvnym vremenem na ploskosti fizicheski govorya sostoyanie kotoroj zadayotsya dvumya veshestvennymi parametrami skazhem napryazheniem i tokom ili polozheniem i skorostyu tochki na pryamoj mozhet stremitsya tolko k polozheniyu ravnovesiya ili k predelnomu ciklu Dinamika v okrestnosti predelnogo ciklaPrityagivayushij predelnyj cikl i otobrazhenie Puankare na transversali k nemu Kak sleduet iz opredeleniya s kazhdoj iz storon predelnyj cikl yavlyaetsya libo ottalkivayushim libo prityagivayushim Esli povedenie s obeih storon odinakovo cikl nazyvaetsya sootvetstvenno ottalkivayushim ili prityagivayushim Esli zhe s odnoj storony proishodit prityazhenie a s drugoj ottalkivanie govoryat o poluustojchivom cikle Povedenie traektorij blizkih k predelnomu ciklu opisyvaetsya otobrazheniem Puankare na otrezke transversalnom k ciklu dlya etogo otobrazheniya tochka sootvetstvuyushaya ciklu yavlyaetsya nepodvizhnoj Tak cikl yavlyaetsya prityagivayushim ili ottalkivayushim togda i tolko togda kogda eta tochka sootvetstvenno prityagivayushaya ili ottalkivayushaya Cikl nazyvaetsya giperbolicheskim esli sootvetstvuyushaya nepodvizhnaya tochka giperbolichna to est imeet proizvodnuyu otlichnuyu ot 1 displaystyle pm 1 V etom sluchae esli proizvodnaya po modulyu bolshe 1 cikl neustojchiv esli menshe ustojchiv Stoit otmetit chto obychno v chastnosti dlya dinamiki na ploskosti ili na sfere voobshe isklyuchaya tolko sluchaj dinamiki na neorientiruemom mnogoobrazii otobrazhenie Puankare sohranyaet orientaciyu poetomu chasto govoryat prosto o proizvodnoj otobrazheniya Puankare ne ogovarivaya otdelno vzyatie eyo modulya Giperbolicheskie predelnye cikly ne razrushayutsya malymi vozmusheniyami esli u ishodnogo vektornogo polya byl giperbolicheskij predelnyj cikl to u lyubogo polya C1 displaystyle C 1 blizkogo k nemu takzhe najdyotsya blizkij k ishodnomu giperbolicheskij predelnyj cikl BifurkaciiSedlouzlovaya bifurkaciya Naibolee prostoj bifurkaciej svyazannoj s predelnymi ciklami yavlyaetsya sedlouzlovaya bifurkaciya dva giperbolicheskih predelnyh cikla ottalkivayushij i prityagivayushij sblizhayutsya V moment bifurkacii oni slivayutsya obrazuya odin poluustojchivyj cikl kotoryj pri dalnejshem izmenenii parametra ischezaet S tochki zreniya kompleksifikacii v sluchae analiticheskogo vektornogo polya eta bifurkaciya mozhet rassmatrivatsya kak uhod predelnogo cikla v kompleksnuyu oblast Katastrofa golubogo neba Osnovnaya statya Katastrofa golubogo neba Odnako na butylke Klejna ili pri rassmotrenii kompleksificirovannyh predelnyh ciklov vozmozhna i bolee slozhnaya bifurkaciya tak nazyvaemaya katastrofa golubogo neba A imenno pri stremlenii parametra k kriticheskomu znacheniyu dlina odnogo predelnogo cikla nachinaet narastat stremyas k beskonechnosti i poetomu on ne prodolzhaetsya na sam moment bifurkacii Fizicheskij primer oscillyator Van der PolyaEtot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 30 sentyabrya 2016 Oscillyator Van der Polya Van der Pol oscillator Arhivnaya kopiya ot 9 iyulya 2009 na Wayback Machine v Scholarpedia 16 ya problema GilbertaVtoraya chast 16 j problemy Gilberta kasaetsya vozmozhnogo kolichestva i raspolozheniya predelnyh ciklov polinomialnyh vektornyh polej na ploskosti V otlichie ot pervoj algebraicheskoj chasti trebuyushej opisat raspolozhenie ovalov algebraicheskoj krivoj zadannoj stepeni dazhe dlya kvadratichnyh vektornyh polej neizvestno sushestvovanie ravnomernoj ocenki sverhu na chislo predelnyh ciklov Etot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 27 marta 2014 Sm takzheSedlouzlovaya bifurkaciya Bifurkaciya Andronova Hopfa Katastrofa golubogo neba Shestnadcataya problema GilbertaLiteraturaKatok A B nem Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamicheskih sistem s obzorom poslednih dostizhenij Per s angl pod red A S Gorodeckogo M MCNMO 2005 464 s ISBN 5 94057 063 1 Yu S Ilyashenko Dinamicheskie sistemy i filosofiya obshnosti polozheniya M MCNMO 2007 ISBN 978 5 94057 353 1 Yu Ilyashenko Centennial history of Hilbert 16th problem Bull Amer Math Soc 39 2002 301 354
