Изгибные волны - NiNa.Az

Изги́бные во́лны — упругие волны, представляющие собой распространяющиеся в стержнях и пластинках деформации изгиба. Строго говоря, изгибными называют только волны, длина волны которых много больше толщины стержня или пластинки. В случае, если длина изгибной волны сравнима с толщиной стержня или пластинки, характер её распространения становится значительно более сложным и такую волну уже не называют изгибной.

В стержне изгибные волны могут распространяться только вдоль его направления. В пластинках направление изгибных волн может быть произвольным в плоскости пластинки. При распространении изгибных волн отклонение частиц происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространению, таким образом изгибные волны являются поперечными.

Математическое описание

Линейная изгибная волна описывается дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка вида

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+ER^{2}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial z^{4}}}=0}$

в случае стержня и

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {Eh^{2}}{12(1-\sigma ^{2})}}\Delta ^{2}u=0}$

в случае пластинки. Здесь использованы следующие обозначения: ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle z}$ — координата вдоль оси стержня, ${\displaystyle \Delta }$ — двумерный оператор Лапласа по координатам плоскости пластинки, ${\displaystyle u}$ — смещение элементов стержня или пластинки, ${\displaystyle \rho }$ — плотность материала, ${\displaystyle E}$ — модуль Юнга, ${\displaystyle \sigma }$ — коэффициент Пуассона, ${\displaystyle R}$ — радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную поверхность, ${\displaystyle h}$ — толщина пластинки.

Из уравнений можно получить выражения для фазовых скоростей изгибных волн частоты ${\displaystyle \omega }$. Для стержня она равна

${\displaystyle v_{p}=\left({\frac {ER^{2}}{\rho }}\right)^{\frac {1}{4}}\omega ^{\frac {1}{2}}}$

а для пластинки:

${\displaystyle v_{p}=\left({\frac {Eh^{2}}{12\rho (1-\sigma ^{2})}}\right)^{\frac {1}{4}}\omega ^{\frac {1}{2}}}$

Можно показать, что эти скорости значительно меньше фазовой скорости продольных волн. Также видно, что изгибные волны подвержены дисперсии: при увеличении частоты их фазовая скорость увеличивается (аномальная дисперсия). Термин «аномальная» заимствован из оптики. Там в прозрачных средах фазовая скорость растёт с увеличением длины волны (уменьшением частоты). В случае изгибных волн в стержне дисперсия обусловлена границами среды (не свойствами). При уменьшении длины волны растёт кривизна изгиба из-за чего растёт и сила упругости и соответственно фазовая скорость. (см. учебник автор Исакович) . Групповая скорость изгибных волн связана с фазовой простым соотношением:

${\displaystyle v_{g}=2v_{p}}$

Примеры

Примерами изгибных волн могут служить стоячие волны, возбуждаемые при ударе камертона, в деках музыкальных инструментов и в диффузорах громкоговорителей. Вибрации тонких стенок корпусов самолётов, автомобилей, перекрытий и стен здания и т. п. также являются примером изгибных волн.

Литература

• И. А. Викторов. Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 101. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.