Простая функция - NiNa.Az

Проста́я фу́нкция — измеримая функция, принимающая конечное число значений.

Определение

Функция ${\displaystyle f}$ определённая на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ называется простой, если существует разбиение ${\displaystyle X}$ на конечное число не пересекающихся измеримых множеств ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ и набор чисел ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ (обычно вещественных или комплексных) таких что ${\displaystyle f(x)=a_{i}}$ для любого ${\displaystyle x\in A_{i}}$.

Замечания

• Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\equiv (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ простая, причём

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X}$ и ${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n}$,

то ${\displaystyle f}$ интегрируема по Лебегу, и

${\displaystyle \int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})}$.

Пример

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская сигма-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега. Тогда функция

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<x<2\\0,&x=0\\-1,&-2<x<0\end{matrix}}\right.,x\in \mathbb {R} }$

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.

Литература

• Рудин, У. Основы математического анализа = Principles of mathematical analysis / Перевод с англ. В. П. Хавина. — М.: Мир, 1966. — 319 с.