Дисперсионное уравнение - NiNa.Az

Не следует путать с соотношениями Крамерса — Кронига.

Зако́н диспе́рсии, или дисперсио́нное соотноше́ние, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:

${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временно́й и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k}},\quad \mathbf {v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}}$.

В простейшем случае линейной связи ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle k}$ эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

${\displaystyle E=E(\mathbf {k} )}$

для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ или частицы, где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка-Дирака.

Волновое уравнение и дисперсия

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношения

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Примеры для волн различных типов

Дисперсия видимого света в оптике

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочке

Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой ${\displaystyle m}$, расстояние между ними ${\displaystyle d}$. Сместим ${\displaystyle n}$-й атом на малое расстояние ${\displaystyle u_{n}}$. Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на ${\displaystyle n}$-й атом смла запишется как

${\displaystyle F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{n+1})-\beta (u_{n}-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),}$

где ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент. Уравнение движения для ${\displaystyle n}$-го атома имеет вид

${\displaystyle ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})}$.

Его решение ищется в форме ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)}}$, где ${\displaystyle k}$ — волновое число, ${\displaystyle A=\,}$const, а ${\displaystyle \omega }$ — частота. Тогда

${\displaystyle -m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2),}$

откуда получается:

${\displaystyle \omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,}$ где ${\displaystyle \,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m}}}$.

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электронов

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона ${\displaystyle E}$ вблизи минимума зоны проводимости ${\displaystyle E_{c}}$ дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой ${\displaystyle m^{*}}$ отличной от массы свободного электрона:

${\displaystyle E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}}$.

Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.

См. также

• Дисперсия волн

Примечания

Литература

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.