Коэффициенты Эйнштейна - NiNa.Az

Вы́нужденное излуче́ние, индуци́рованное излучение — генерация нового фотона при переходе квантовой системы (атома, молекулы, ядра и т. д.) между двумя состояниями (с более высокого на более низкий энергетический уровень) под воздействием индуцирующего фотона, энергия которого равна разности энергий этих состояний. Созданный фотон имеет ту же энергию, импульс, поляризацию, а также направление распространения, что и индуцирующий фотон (который при этом не поглощается). Оба фотона являются когерентными.

Вынужденное излучение (лазер)

Введение. Теория Эйнштейна

Рис. 1a. Поглощение фотона

Рис. 1б. Вынужденное испускание фотона

Рис. 1в. Спонтанное испускание фотона

Большой вклад в разработку вопроса о вынужденном излучении (испускании) внёс А. Эйнштейн, опубликовав в 1916 и 1917 годах соответствующие научные статьи. Гипотеза Эйнштейна состоит в том, что под действием электромагнитного поля частоты ω молекула (атом) может:

• перейти с более низкого энергетического уровня ${\displaystyle E_{1}}$ на более высокий ${\displaystyle E_{2}}$ с поглощением фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1a);
• перейти с более высокого энергетического уровня ${\displaystyle E_{2}}$ на более низкий ${\displaystyle E_{1}}$ с испусканием фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1б);
• кроме того, как и в отсутствие возбуждающего поля, остаётся возможным самопроизвольный переход молекулы (атома) с верхнего на нижний уровень с испусканием фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1в).

Первый процесс принято называть поглощением, второй — вынужденным (индуцированным) испусканием, третий — спонтанным испусканием. Скорость поглощения и вынужденного испускания фотона пропорциональна вероятности соответствующего перехода: ${\displaystyle B_{12}\cdot u}$ и ${\displaystyle B_{21}\cdot u,}$ где ${\displaystyle B_{12},}$ ${\displaystyle B_{21}}$ — коэффициенты Эйнштейна для поглощения и испускания, ${\displaystyle u}$ — спектральная плотность излучения.

Число переходов ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$ с поглощением света выражается как

${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=B_{12}u\cdot n_{1}\mathrm {d} t,\qquad \qquad (1)}$

с испусканием света даётся выражением:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{2}=(A_{21}+B_{21}u)\cdot n_{2}\mathrm {d} t,\qquad (2)}$

где ${\displaystyle A_{21}}$ — коэффициент Эйнштейна, характеризующий вероятность спонтанного излучения, а ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ — число частиц в первом или во втором состоянии соответственно. Согласно принципу детального равновесия, при термодинамическом равновесии число квантов света ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$ при переходах 1 → 2 должно равняться числу квантов ${\displaystyle \mathrm {d} n_{2},}$ испущенных в обратных переходах 2 → 1.

Связь между коэффициентами

Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой испускают и поглощают электромагнитное излучение. Такое излучение характеризуется спектральной плотностью ${\displaystyle u(\omega ,T),}$ получаемой из формулы Планка:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}.\qquad \qquad (3)}$

Так как мы рассматриваем термодинамическое равновесие, то ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=\mathrm {d} n_{2}.}$ Используя уравнения (1) и (2), находим для состояния равновесия:

${\displaystyle B_{12}u(\omega ,T)n_{1}=(A_{21}+B_{21}u(\omega ,T))n_{2},}$

откуда:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {B_{12}u(\omega ,T)}{A_{21}+B_{21}u(\omega ,T)}}.\qquad \qquad (4)}$

При термодинамическом равновесии распределение частиц по уровням энергии подчиняется закону Больцмана:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {E_{2}-E_{1}}{kT}}\right),\qquad \qquad (5)}$

где ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ — статистические веса уровней, показывающие количество независимых состояний квантовой системы, имеющих одну и ту же энергию (вырожденных). Будем считать для простоты, что статвеса уровней равны единице.

Итак, сравнивая (4) и (5) и принимая во внимание, что ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1},}$ получим:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {A_{21}}{B_{12}\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-B_{21}}}.\qquad \qquad (6)}$

Так как при ${\displaystyle T\to \infty }$ спектральная плотность излучения должна неограниченно возрастать, то нам следует положить знаменатель равным нулю, откуда имеем:

${\displaystyle B_{12}=B_{21}.}$

Далее, сопоставив (3) и (6), легко получить:

${\displaystyle B_{21}={\frac {\pi ^{2}c^{3}}{\hbar \omega ^{3}}}\cdot A_{21}.}$

Последние два соотношения справедливы для любых комбинаций уровней энергии. Их справедливость сохраняется и при отсутствии равновесия, так как определяются только характеристикой систем и не зависят от температуры.

Свойства вынужденного испускания

По свойствам вынужденное испускание существенно отличается от спонтанного.

• Наиболее характерная черта вынужденного излучения заключается в том, что возникшая электромагнитная волна распространяется в том же направлении, что и первоначальная индуцирующая волна.
• Частоты и поляризация вынужденного и первоначального излучений также равны.
• Вынужденный поток когерентен возбуждающему.

Применение

На вынужденном излучении основан принцип работы квантовых усилителей, лазеров и мазеров. В рабочем теле лазера путём накачки создаётся избыточное (по сравнению с термодинамическим ожиданием) количество атомов в верхнем энергетическом состоянии. Рабочее тело газового лазера находится в резонаторе (в простейшем случае — пара зеркал), создающем условия для накапливания фотонов с определённым направлением импульса. Первоначальные фотоны возникают за счёт спонтанного излучения. Затем, благодаря наличию положительной обратной связи, вынужденное излучение лавинообразно возрастает. Лазеры обычно используются для генерации излучения, тогда как мазеры, работающие в области радиочастот, применяются также и для усиления.

См. также

• Лазер
• Мазер
• Квантовый генератор

Литература

• Микаэлян А. Л., Тер-Микаелян М. Л., Турков Ю. Г. Оптические генераторы на твёрдом теле. — М.: Советское радио, 1967.