Лаговый оператор - NiNa.Az

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

Для временного ряда ${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,}$ лаговый оператор представим в виде:

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}}$,

при этом:

• ${\displaystyle L^{0}=1}$,
• ${\displaystyle L\mu =\mu }$ (${\displaystyle \mu ={\text{const}}}$),
• ${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$.

При этом оператор ${\displaystyle \Delta =1-L}$ создаёт конечную разность 1-го порядка: ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-1}}$.

С лаговым оператором неразрывно связано понятие лагового многочлена:

${\displaystyle \Theta (L)=\sum _{i=0}^{N}\theta _{i}L_{i}}$.

Лаговые многочлены находят своё применение при записи моделей временных рядов. Например, для многочленов ${\displaystyle \alpha (L)=\sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}L_{i}}$ и ${\displaystyle \beta (L)=\sum _{j=0}^{M}\beta _{j}L_{j}}$ написания моделей сводятся к следующим:

Модель	Запись
AR(i)	${\displaystyle \alpha (L)y_{t}=\epsilon _{t}}$
MA(j)	${\displaystyle y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}}$
ARMA(i, j)	${\displaystyle \alpha (L)y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}}$

где ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ — белый шум.

В этом случае теорема Волда может быть представлена в виде:

${\displaystyle y_{t}=\gamma (L)\epsilon _{t}}$,

где:

${\displaystyle \gamma (L)={\frac {\beta (L)}{\alpha (L)}}\ =\sum _{k=0}^{\infty }\gamma _{k}L_{k}}$ (${\displaystyle \gamma (0)=1}$).

Примечания

1. Zivot E., Wang J. Modeling Financial Time Series with S-PLUS. — Springer Science & Business Media, 2013. — P. 65-66. — 632 p. — ISBN 0387217630.
2. Verbeek M. A Guide to Modern Econometrics. — John Wiley & Sons, 2008. — P. 276-277. — 472 p. — ISBN 0470517697.
3. Diebold F.X. Elements of Forecasting. — 4. — South-Western College Pub, 2007. — P. 123-124. — 384 p. — ISBN 032432359X.
4. Wang G. C. S., Jain C. L. Regression Analysis: Modeling & Forecasting. — Institute of Business Forec, 2003. — P. 156. — 293 p. — ISBN 0932126502.