Матрица Адамара - NiNa.Az

Матрица Адамара ${\displaystyle H}$ — это квадратная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$, составленная из чисел 1 и −1, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение

${\displaystyle H_{n}\cdot H_{n}^{T}=n\cdot E_{n},}$

где ${\displaystyle E_{n}}$ — это единичная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$. Матрицы Адамара применяются в различных областях, включая комбинаторику, численный анализ, обработку сигналов.

Недоказанная гипотеза Адамара утверждает, что матрица Адамара порядка 4k существует для каждого натурального k.

Свойства

На множестве матриц Адамара размера ${\displaystyle n\times n}$ действует группа преобразований ${\displaystyle G}$, порождённая инверсиями строк и столбцов (умножением на −1), а также перестановками строк и столбцов.

Две матрицы Адамара ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ называются эквивалентными, если существует элемент ${\displaystyle g\in G}$ такой, что ${\displaystyle H_{2}=gH_{1}}$. Таким образом, все матрицы Адамара заданного размера разбиваются на классы эквивалентности.

Теорема 1. Существует алгоритм перечисления нормализованных матриц Адамара.

Теорема 2. Для порядков 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 существует соответственно 1, 1, 1, 1, 2, 118, 6520, 43966313 (последовательность A147774 в OEIS) эквивалентных классов нормализованных матриц Адамара по отношению эквивалентности перестановок строк и столбцов.

Определение. матрицы Адамара H называется элемент ${\displaystyle g\in G}$ такой, что ${\displaystyle g(H)=H}$.

Теорема 3. Существует алгоритм вычисления группы автотопий матрицы Адамара.

Теорема 4. Существует алгоритм проверки эквивалентности двух матриц Адамара, находящий нужный элемент ${\displaystyle g\in G}$.

Теорема 5. Существуют полиномиально вычислимые функции на матрицах Адамара, инвариантные относительно действия группы ${\displaystyle G}$, и позволяющие в определённых случаях различать неэквивалентные матрицы Адамара.

Теорема 6. Существует алгоритм, перечисляющий только по одной матрице из каждого эквивалентного класса, для всех матриц заданного размера (в стадии разработки).

Примеры

${\displaystyle H_{0}=+1,}$

${\displaystyle H_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle \quad H_{2^{k+1}}={\begin{bmatrix}H_{2^{k}}&H_{2^{k}}\\H_{2^{k}}&-H_{2^{k}}\end{bmatrix}}=H_{2}\otimes H_{2^{k}},}$,

где ${\displaystyle \ k\in N}$, а ${\displaystyle \otimes }$ означает произведение Кронекера.

Использование матриц Адамара

• Иногда используются в рентгеновских телескопах с пространственным кодированием апертуры.
• Используются при кодировании информации (коды, исправляющие ошибки, ECC).

См. также

• Функция Уолша

Ссылки

• A Library of Hadamard Matrices, N. J. A. Sloane (англ.)
• Hedayat, A.; Wallis, W. D. Hadamard matrices and their applications (англ.) // ^[англ.] : journal. — 1978. — Vol. 6, no. 6. — P. 1184—1238. — doi:10.1214/aos/1176344370. — JSTOR 2958712. (англ.)
• Haralambos Evangelaras, Applications of Hadamard matrices, Journal of Telecommunications and Information Technology (2003): 3-10. (англ.)
• Seberry et al. On some applications of Hadamard matrices, Metrika, 62(2-3), 221-239. 2005. (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Hadamard Matrix." / MathWorld, A Wolfram Web Resource.  (англ.)
• Hadamard matrices / The Encyclopaedia of Design Theory (англ.)
• Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — 744 с. - стр 52 "2.3 Матрицы Адамара и коды Адамара"
• Ю.Бугаков, Е. Кужамалиев, Алгоритм поэлементного построения матрицы Адамара размерности степени 2, algowiki