Относительная внутренность - NiNa.Az

Относительная внутренность множества — уточнение концепции внутренности, применяется при работе со множествами низкой размерности в пространствах высокой размерности. Для заданного множества ${\displaystyle S}$ определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle \operatorname {relint} S:=\{x\in S\mid \exists \varepsilon >0,N_{\varepsilon }(x)\cap \operatorname {aff} S\subseteq S\}}$,

где ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ означает аффинную оболочку множества ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x)}$ — шар радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle x}$. Может быть использована любая метрика для построения шара: все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ относительная внутренность может быть определена как:

${\displaystyle \operatorname {relint} C:=\{x\in C\mid \forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}}$.

Примечания

1. Zălinescu, 2002, с. 2–3.
2. Rockafellar, 1997, с. 47.
3. Bertsekas, 1999, с. 697.

Литература

• Zălinescu C. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. — ISBN 978-0-691-01586-6. Первое издание — 1970
• Dimitri Bertsekas. Nonlinear Programming. — 2. — Belmont, Massachusetts: Athena Scientific, 1999. — ISBN 978-1-886529-14-4.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — С. 23. — ISBN 0-521-83378-7.