Абсолютная геометрия
Абсолютная геометрия (или нейтральная геометрия) — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики, то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться. Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.
Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского.
Примеры теорем абсолютной геометрии
Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теорем:
- У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
- Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
- Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
- При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
- Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.
- Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной.
- Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон.
- Сумма углов треугольника не превосходит 180°.
Теоремы, не входящие в абсолютную геометрию
Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта) полна, то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.
Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию:
- Признаки подобия треугольников.
- Многочисленные эквиваленты V постулата
Вариации и обобщения
В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида, доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия, в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского), и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более широкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.
Примечания
- Абсолютная геометрия // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 34.
- Высшая геометрия, 1971, с. 88—89.
- Больаи Я. Аппендикс Архивная копия от 21 апреля 2013 на Wayback Machine // Об основаниях геометрии (сб. статей), М., ГИТТЛ, 1956. Серия «Классики естествознания».
- Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1981. — С. 64—65. — 270 с.
- Высшая геометрия, 1971, с. 14, 67 и далее, 89.
- school-collection.edu.ru.
- См, например: Gunter Ewald. Geometry: an introduction. Wadsworth Publishing. 1st. 1971, 399 pages. ISBN 0-534-00034-7.
- Peil, Timothy. Hilbert's Axioms Modified for Plane Elliptic Geometry (англ.). // Survey of Geometry. Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано 19 октября 2016 года.
Литература
- Гильберт Д. Основания геометрии. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — 492 с. — (Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия).
- Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 1971.
- Переиздание: 2004, издательство «Физматлит», ISBN 5-9221-0267-2.
Ссылки
- Абсолютная геометрия. — на федеральном портале School-collection.edu.ru. Дата обращения: 9 ноября 2018.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Абсолютная геометрия, Что такое Абсолютная геометрия? Что означает Абсолютная геометрия?
Absolyutnaya geometriya ili nejtralnaya geometriya chast klassicheskoj geometrii nezavisimaya ot pyatogo postulata evklidovoj aksiomatiki to est v absolyutnoj geometrii pyatyj postulat mozhet vypolnyatsya a mozhet i ne vypolnyatsya Absolyutnaya geometriya soderzhit predlozheniya obshie dlya evklidovoj geometrii i dlya geometrii Lobachevskogo Termin byl predlozhen Yanoshem Bojyai v 1832 godu Pravda sam Bojyai vkladyval v nego neskolko inoj smysl on nazyval absolyutnoj geometriej specialno razrabotannuyu im simvoliku kotoraya pozvolyala obedinyat odnoj formuloj teoremy kak evklidovoj geometrii tak i geometrii Lobachevskogo Primery teorem absolyutnoj geometriiPervye 28 teorem Nachal Evklida otnosyatsya k absolyutnoj geometrii Privedyom eshyo neskolko primerov takih teorem U ravnobedrennogo treugolnika ugly pri osnovanii ravny Vneshnij ugol treugolnika bolshe kazhdogo vnutrennego ne smezhnogo s nim Vo vsyakom treugolnike po krajnej mere dva ugla ostrye Pri peresechenii dvuh pryamyh vertikalnye ugly ravny Bolshej iz dvuh storon treugolnika protivostoit i bolshij ugol i naoborot bolshemu uglu protivostoit bo lshaya storona Perpendikulyar iz tochki na pryamuyu koroche naklonnoj Kazhdaya storona treugolnika menshe summy i bolshe raznosti dvuh drugih ego storon Summa uglov treugolnika ne prevoshodit 180 Teoremy ne vhodyashie v absolyutnuyu geometriyuSovremennaya aksiomatika evklidovoj geometrii naprimer aksiomatika Gilberta polna to est lyuboe korrektnoe utverzhdenie v etoj teorii mozhet byt dokazano ili oprovergnuto Absolyutnaya geometriya nepolna poskolku pyatyj postulat opredelyaet metricheskie svojstva odnorodnogo prostranstva otsutstvie ego v absolyutnoj geometrii oznachaet chto metrika prostranstva ne opredelena i bolshinstvo teorem svyazannyh s izmereniyami naprimer teorema Pifagora ili teorema o summe uglov treugolnika ne mogut byt dokazany v absolyutnoj geometrii Drugie primery teorem ne vhodyashih v absolyutnuyu geometriyu Priznaki podobiya treugolnikov Mnogochislennye ekvivalenty V postulataVariacii i obobsheniyaV absolyutnoj geometrii parallelnye pryamye vsegda sushestvuyut sm teoremy 27 i 28 Nachal Evklida dokazannye bez opory na pyatyj postulat poetomu sfericheskaya geometriya v kotoroj net parallelnyh nesovmestima s absolyutnoj geometriej Odnako mozhno postroit aksiomatiku obedinyayushuyu vse tri tipa neevklidovyh geometrij evklidovu sfericheskuyu i geometriyu Lobachevskogo i togda absolyutnuyu geometriyu mozhno opredelit kak ih obshuyu chast Eto novoe opredelenie bolee shirokoe chem prezhnee naprimer teorema summa uglov treugolnika ne prevoshodit 180 perestayot byt vernoj PrimechaniyaAbsolyutnaya geometriya Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1977 T 1 S 34 Vysshaya geometriya 1971 s 88 89 Bolai Ya Appendiks Arhivnaya kopiya ot 21 aprelya 2013 na Wayback Machine Ob osnovaniyah geometrii sb statej M GITTL 1956 Seriya Klassiki estestvoznaniya Matematika XIX veka Tom II Geometriya Teoriya analiticheskih funkcij Pod red Kolmogorova A N Yushkevicha A P M Nauka 1981 S 64 65 270 s Vysshaya geometriya 1971 s 14 67 i dalee 89 school collection edu ru Sm naprimer Gunter Ewald Geometry an introduction Wadsworth Publishing 1st 1971 399 pages ISBN 0 534 00034 7 Peil Timothy Hilbert s Axioms Modified for Plane Elliptic Geometry angl Survey of Geometry Data obrasheniya 18 oktyabrya 2016 Arhivirovano 19 oktyabrya 2016 goda LiteraturaGilbert D Osnovaniya geometrii M L GITTL 1948 492 s Klassiki estestvoznaniya Matematika mehanika fizika astronomiya Efimov N V Vysshaya geometriya 7 e izd M Fizmatlit 1971 Pereizdanie 2004 izdatelstvo Fizmatlit ISBN 5 9221 0267 2 SsylkiAbsolyutnaya geometriya neopr na federalnom portale School collection edu ru Data obrasheniya 9 noyabrya 2018
