Коллинеарные векторы - NiNa.Az

Коллинеа́рность (от лат. con — совместность и лат. linearis — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены (сонаправлены) или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют антиколлинеарными, или антипараллельными).

Основное обозначение — ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как ${\displaystyle {\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}}$, противоположно направленные — ${\displaystyle {\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}}$.

Свойства

• Отношение коллинеарности рефлексивно (${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {a}}}$).
• Отношение коллинеарности симметрично (${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}}$).
• Отношение коллинеарности ненулевых векторов транзитивно: если ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}},\ {\vec {b}}||{\vec {c}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}\neq {\vec {0}}}$, то ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {c}}}$.
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
• Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
• Если ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}\neq {\vec {0}}}$, то существует действительное число ${\displaystyle \lambda }$ такое, что ${\displaystyle {\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;}$ (причём ${\displaystyle \lambda >0}$, если векторы сонаправлены, и ${\displaystyle \lambda <0}$, если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\displaystyle {\vec {c}}}$ можно представить в виде: ${\displaystyle {\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}}$. Тогда ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2}\}}$ будут координатами ${\displaystyle {\vec {c}}}$ в данном базисе.
• Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).
• Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0 — необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Обобщения

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой.

Примечания

1. А.Б.Иванов. Коллинеарные векторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.