Аддитивная группа - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы.

Современная теория групп является активным разделом математики. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Множество ${\displaystyle G}$ с заданной на нём бинарной операцией ${\displaystyle {*}}$: ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ называется группой ${\displaystyle (\mathrm {G} ,*)}$, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: ${\displaystyle \forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)}$;
2. наличие нейтрального элемента: ${\displaystyle \exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)}$;
3. наличие обратного элемента: ${\displaystyle \forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)}$.

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной ${\displaystyle *}$:

${\displaystyle \forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)}$.

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами.

Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп

Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
  • Пары элементов ${\displaystyle a,\;b}$, для которых выполнено равенство ${\displaystyle a*b=b*a}$, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
• Подгруппа — подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$, которое является группой относительно операции, определённой в ${\displaystyle G}$.
• Порядок группы ${\displaystyle (G,*)}$ — мощность ${\displaystyle G}$ (то есть число её элементов).
  • Если множество ${\displaystyle G}$ конечно, то группа называется конечной.
• Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$.
• Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ и гомоморфизм групп ${\displaystyle g\colon (H,\times )\to (G,*)}$, такие что ${\displaystyle f(g(a))=a}$ и ${\displaystyle g(f(b))=b}$, где ${\displaystyle b\in G}$ и ${\displaystyle a\in H}$. В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
• Для элемента ${\displaystyle g\in G}$ левый смежный класс по подгруппе ${\displaystyle H}$ — множество ${\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\}}$, правый смежный класс по подгруппе ${\displaystyle H}$ — множество ${\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\}}$.
• Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle gH=Hg}$.
• Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают ${\displaystyle a\cdot b}$ или ${\displaystyle ab}$;
• нейтральный элемент обозначается «${\displaystyle 1}$» или ${\displaystyle e}$ и называется единицей;
• обратный к ${\displaystyle a}$ элемент записывается как ${\displaystyle a^{-1}}$.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$.

Кратные произведения ${\displaystyle aa}$, ${\displaystyle aaa}$, ${\displaystyle ...}$ записывают в виде натуральных степеней ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$,${\displaystyle ...}$. Для элемента ${\displaystyle a}$ корректно определена целая степень, записывается следующим образом: ${\displaystyle a^{0}=e}$, ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «${\displaystyle a+b}$» и называют получившийся элемент суммой элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$;
• нейтральный элемент обозначают как «${\displaystyle 0}$» и называют его нулём;
• обратный элемент к ${\displaystyle a}$ обозначают как «${\displaystyle -a}$» и называют его противоположным к ${\displaystyle a}$ элементом;
• запись сокращают следующим образом: ${\displaystyle a+(-b)=a-b}$;
• выражения вида ${\displaystyle a+a}$, ${\displaystyle a+a+a}$,${\displaystyle -a-a}$ обозначают символами ${\displaystyle 2a}$, ${\displaystyle 3a}$, ${\displaystyle -2a}$.

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,+)}$. Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел. Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы).

Примеры

• Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, с введением понятия фундаментальной группы. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

Часы показывают время по модулю 12. ${\displaystyle {\begin{aligned}n=12\\9+4&\equiv 1{\pmod {12}}\,\end{aligned}}}$.

• Целые числа по модулю ${\displaystyle n}$ — результатом сложения по модулю ${\displaystyle n}$ является остаток суммы при делении на ${\displaystyle n}$. Множество целых чисел от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$ образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — ${\displaystyle 0}$, обратный элемент к ${\displaystyle a\neq 0}$ является число ${\displaystyle n-a\equiv -a{\pmod {n}}}$. Наглядным примером такой группы

могут быть часы с циферблатом.

• Целые числа с операцией сложения. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ — коммутативная группа с нейтральным элементом ${\displaystyle 0}$. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, ${\displaystyle a=2}$, тогда ${\displaystyle a\cdot b=1}$ то есть ${\displaystyle b=1/2}$. Обратный элемент не является целым числом.
• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица.
• Свободная группа с двумя образующими (${\displaystyle F_{2}}$) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a^{-1}}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b^{-1}}$ таких, что ${\displaystyle a}$ не появляется рядом с ${\displaystyle a^{-1}}$ и ${\displaystyle b}$ не появляется рядом с ${\displaystyle b^{-1}}$. Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар ${\displaystyle aa^{-1}}$, ${\displaystyle a^{-1}a}$, ${\displaystyle bb^{-1}}$ и ${\displaystyle b^{-1}b}$.
• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ для множества из ${\displaystyle n}$ элементов равна ${\displaystyle n!}$. При ${\displaystyle n\geq 3}$ эта группа не является абелевой. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу

• Циклические группы состоят из степеней ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ одного элемента ${\displaystyle a}$. Элемент ${\displaystyle a}$ называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из ${\displaystyle n}$ комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел ${\displaystyle z}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle z^{n}=1}$ и операции умножения комплексных чисел. Мультипликативная конечная группа ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$ также является циклической. Например, ${\displaystyle 3}$ является образующим элементом группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при ${\displaystyle n=5}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&\equiv 3{\pmod {5}}\\3^{2}&\equiv 4{\pmod {5}}\\3^{3}&\equiv 2{\pmod {5}}\\3^{4}&\equiv 1{\pmod {5}}\,\end{aligned}}}$

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы ${\displaystyle S_{48}}$, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.
• Группы Галуа. Были введены в математику для решения в радикалах полиномиальных уравнений от одной переменной. Например, решение квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ даёт корни: ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$ Подобные формулы есть для уравнений третьей и четвёртой степени, но не существуют для уравнений степени ${\displaystyle 5}$ и выше.

Простейшие свойства

• Для каждого элемента ${\displaystyle a}$ обратный элемент ${\displaystyle a^{-1}}$ единственен.
• Нейтральный элемент единственен:

  Если ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$— нейтральные, то ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}}$.

• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$.
• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$.
• ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}$.
• ${\displaystyle e^{n}=e}$, для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$.
• Верны законы сокращения:

  ${\displaystyle c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b}$,

  ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b}$.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение ${\displaystyle x}$ любого уравнения ${\displaystyle x\cdot c=b}$ или ${\displaystyle c\cdot x=b}$; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
• Пересечение двух подгрупп группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$ есть подгруппа группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$.
• Теорема Лагранжа: если ${\displaystyle \mathrm {G} }$ — группа конечного порядка ${\displaystyle g}$, то порядок ${\displaystyle g_{1}}$ любой её подгруппы ${\displaystyle \mathrm {G_{1}} }$ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

• С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
• Факторгруппой ${\displaystyle G/H}$, где ${\displaystyle G}$ — некоторая группа и ${\displaystyle H}$ — её нормальная подгруппа;
• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп ${\displaystyle (G,\cdot )}$ и ${\displaystyle (H,\cdot )}$, то есть множеством ${\displaystyle G\times H}$ пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})}$;
• Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, a система соотношений есть объединение систем соотношений ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$.

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θⁿ = 1» (англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ${\displaystyle =}$1").

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году.

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе.

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса.

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики.

Вариации и обобщения

• Группоид — множество с заданной на нём бинарной операцией.
• Квазигруппа — группоид, состоящий из некоторого множества ${\displaystyle Q}$ и бинарной операции ${\displaystyle \cdot }$, такой что для любых ${\displaystyle a,b\in Q}$ найдутся единственные элементы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, такие что ${\displaystyle a\cdot x=b}$ и ${\displaystyle y\cdot a=b}$.
• Полугруппа — алгебраическая система с заданной на ней ассоциативной бинарной операцией. Множество натуральных чисел с операцией сложения образует полугруппу.
• Множество ${\displaystyle G}$ с заданной на нём бинарной операцией, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Множество нeотрицательных целых чисел с операцией сложения образуют моноид.

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).

Кольца

Основная статья: Кольцо (математика)

Кольцо — множество ${\displaystyle K}$, на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца ${\displaystyle 1}$ называется единицей, если выполнено условие: ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$, где ${\displaystyle a}$ — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть ${\displaystyle a\cdot b=-b\cdot a}$) в силу свойств векторного умножения: ${\displaystyle a\times b+b\times a=0}$.

Поля

Основная статья: Поле (алгебра)

Поле — коммутативное ассоциативное кольцо ${\displaystyle F}$ с единицей, причём относительно сложения ${\displaystyle F}$ образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле ${\displaystyle a\cdot b=0}$ только при ${\displaystyle a=0}$ и/или ${\displaystyle b=0}$.

Топологические группы

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ и операция взятия обратного элемента ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$, мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел ${\displaystyle (\mathbb {R^{*}} ,\cdot )}$, полная линейная группа ${\displaystyle GL(n)}$, специальная линейная группа ${\displaystyle SL(n)}$, ортогональная группа ${\displaystyle O(n)}$, специальная ортогональная группа ${\displaystyle SO(n)}$, унитарная группа ${\displaystyle U(n)}$, специальная унитарная группа ${\displaystyle SU(n)}$.

Группы Ли

Основная статья: Группа Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ и операция взятия обратного элемента ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная ${\displaystyle n}$-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности ${\displaystyle 2n}$.

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуютизометрии вида ${\displaystyle \mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E} }$, где ${\displaystyle \mathrm {E} }$ — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая ${\displaystyle Is(\mathrm {E} )}$, является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства ${\displaystyle \mathrm {E} }$, обозначаемой ${\displaystyle Aff(\mathrm {E} )}$.

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Примечания

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9—14. — 288 с. — 11 800 экз.
3. Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195—215. — doi:10.2307/2690312.
4. Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
5. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
6. Сагалович, 2010, с. 50.
7. Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
8. Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
9. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
10. Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
11. М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и C++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
12. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
13. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
14. Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
15. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
16. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
17. Schönert, Martin. Analyzing Rubik's Cube with GAP (англ.). Дата обращения: 19 июля 2013. Архивировано 5 сентября 2013 года.
18. Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
19. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
20. Сагалович, 2010, с. 56.
21. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
22. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
23. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
24. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
25. Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 23.
26. Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 52.
27. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
28. Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40-47.
29. Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
30. Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728—735. Архивировано 26 сентября 2020 года.
31. Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2—5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
32. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
33. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
34. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
35. Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
36. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
37. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
38. Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
39. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
40. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
41. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
42. Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
43. Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.

Литература

Научная литература

• Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды — 2-е изд. — М.: ИППИ РАН, 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

• Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).
• Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.
• Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 88—94. — 352 с.